シュレーディンガー方程式

量子力学

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

不確定性原理

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シュレーディンガー方程式（シュレーディンガーほうていしき、Schrödinger equation）とは、量子力学における純粋状態(状態ベクトルまたは波動関数で表される)の時間発展を記述する方程式である。1926年に、エルヴィン・シュレーディンガーが量子力学の一形式である波動力学の基礎方程式として提案した。

シュレーディンガー方程式

状態ベクトル$|\psi(t)\rangle$に対するシュレーディンガー方程式は

$i\hbar\frac{\partial{}}{\partial{}t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}|\psi(t)\rangle$

と表される（時間依存型シュレーディンガー方程式）。ここで、$\hat{H}$は系の全力学的エネルギーを表す「ハミルトニアン（ハミルトン演算子）」というエルミート演算子であり、対応する古典系のハミルトニアンを正準量子化する事によって得られることが多い。

量子系の時間発展についての基本的な要請（原理）は、シュレーディンガー描像で記述する場合は、このシュレーディンガー方程式を採用して出発することが多い。しかし他にも「時間発展演算子が満たすべき条件」を基本的な要請として出発することもある。

時間依存しないシュレーディンガー方程式

上式でハミルトニアン部分が時間に依存しない場合は、

$|\psi(\mathbf{r},t)\rangle = e^{-iEt\over{\hbar}} |\phi(\mathbf{r})\rangle$

となる。$e^{-iEt\over{\hbar}}$は、この場合の時間発展演算子である。

これを時間依存型シュレーディンガー方程式に代入すると、時間を含まないシュレーディンガー方程式（非時間依存型シュレーディンガー方程式）

$\hat{H} |\phi\rangle = E |\phi\rangle$

が得られる。これはハミルトニアン$\hat{H} \$の固有値問題である。よってこの式を解いて得られるものはエネルギー固有状態とエネルギー固有値である。

関連項目

• 基礎方程式
  • クライン-ゴルドン方程式
  • ディラック方程式
• 量子力学
• 量子力学の数学的基礎
• 井戸型ポテンシャル
• 調和振動子
• 水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解
• マックス・ボルン