微分方程式

微分方程式（びぶんほうていしき、differential equation）とは未知関数とその導関数の関係式として書かれている関数方程式である。主に、一変数関数の導関数の関係式で書かれる常微分方程式 (O.D.E.) と多変数関数の偏導関数を含む関係式で書かれる偏微分方程式 (P.D.E.) に分かれる。

概要

微分方程式は、物理法則としての基礎方程式として生まれた。微分方程式論は解析学の中心的な分野で、フーリエ変換、ラプラス変換等はもともと微分方程式を解くために開発された手法である。また物理学における微分方程式の主要な問題は初期値問題、境界値問題、固有値問題である。

未知関数とその導関数の関係式が、未知関数や導関数を変数と見たときに解析関数を係数とする多項式である場合、代数的微分方程式と呼ばれる。 微分方程式に含まれる導関数の次数の内、最も高いものが n 次である場合、n 階微分方程式といい、nを階数という。

いずれの場合も未知関数は一つとは限らず、また、連立する複数の微分方程式を同時に満たす関数を解とするような連立方程式の形を取る場合もある。n 階連立常（偏）微分方程式などと呼ばれる。

微分方程式が、既知の関数（定数関数でもよい）を係数とする未知関数、導関数、定数項 1 の線型結合で書かれている時、これを線型微分方程式と呼び、そうでない場合は非線型微分方程式と呼ぶ。微分方程式を線型か非線形かで分類することもある。

また、線形微分方程式の内、定数項 1 の係数が 0 である場合は斉次方程式、そうでない場合は非斉次方程式と呼ぶ（斉次・非斉次ではなく、同次・非同次で呼ばれる場合もある）。

線型微分方程式の研究は歴史が長くヘルマンダー等がそのひとつの頂点であろう。それに比して、非線型微分方程式の研究は歴史が浅く比較的簡単な方程式しか解析できていない。例えばナビエ-ストークスの式は、流体の支配方程式として重要であるが、その解の存在性は未解決問題でありミレニアム懸賞問題にも選ばれている。

微分方程式の例

以下では最も初等的と言える微分方程式のノーマルフォームとその解法を紹介する。

一階線型常微分方程式

$\frac{dx}{dt} = x$

この斉次方程式は、次のようにして解くことが出来る。$x\,$　が恒等的に0 でないとき、方程式を変形して、

$\frac{dx}{x} = dt$

両辺を積分すれば、

$\int \frac{dx}{x} = \int dt$

$\iff \log |x| = t + c$

$\iff x = \pm e^{t+c} = \pm e^c e^t$

ここで $C = \pm e^{c}$ とすれば、この方程式の解は $x=Ce^t\,$（$C$ は0を含む任意の実数）となる。

このように、微分方程式に於ける微小数（$dx,dt\,$　など）は、通常の分数とほぼ同じように扱える。但し、微小数どうしの約分はできない。実際、上の解法の正確な意味は、方程式を変形して

$\frac{1}{x}\frac{dx}{dt} = 1$

とし、これを t で積分するとき、置換積分法の公式

$\int f(x(t)) \frac{dx}{dt} dt = \int f(x)dx$

を用いれば、

$\int \frac{1}{x} \frac{dx}{dt} dt = \int dt \iff \int \frac{dx}{x} = \int dt$

となることを微小数（あるいは微分形式）同士の形式的な関係式と見做しているということなのである。

その他の解法としては斉次方程式の解を利用して解く定数変化法やグリーン関数を用いた解法、差分方程式を用いた解法、ラプラス変換や逆ラプラス変換を用いた解法など様々な解法が知られている。

しかし、代数方程式と同様に微分方程式も殆どのものが解を求めるのは困難であり、よく知られている関数の組合せでは記述できないものが殆どである。従って、実用的には上記のような解析的な解法に加えて、計算機を利用した数値計算による解の探索も重要である。その手段として、常微分方程式にはオイラー法やルンゲ＝クッタ法、偏微分方程式には有限要素法などがある。

一階線型常微分方程式の一般型とその一般解

一般的な型としての一階線型常微分方程式は、既知関数を$P(x),Q(x)~~$ として、 次のように書かれる。

$\frac{\,dy\,}{dx}+P(x)y=Q(x).$

この一階線型常微分方程式は、一般解が求積法で解ける。 まず、斉次方程式

$\frac{\,dy\,}{dx}+P(x)y=0$

の一般解は、積分定数を $A(\ne 0)$ として、

$y=A\exp\left(-\int P(x)\,dx\right)$

となる。これを用いて、一階線型常微分方程式の一般解は、$\ A$を$\ x$の関数とみなす定数変化法より、$\ C(\ne 0)$を積分定数として

$y=\left\{\int Q(x) \exp\left(\int P(x)\,dx\right)dx +C\right\} \exp\left(-\int P(x)\,dx\right)$

で与えられる。

二階線型常微分方程式

二階線型常微分方程式の一般型は、既知関数を$P(x),Q(x),R(x)~~$ として、 次のように書かれる。

$\frac{\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}+P(x)\frac{\,dy\,}{dx}+Q(x)y=R(x).$

この二階線型常微分方程式は、このままの型では求積法を用いて一般解を表示することは出来ない。 もし、右辺を0とした同次方程式の特殊解として，$y=y_{1}~~$が存在すれば，

$\frac{\,d^{\,2}y_{1}\,}{dx^{2}}+P(x)\frac{\,dy_{1}\,}{dx}+Q(x)y_{1}=0$

が成り立つので，$z~~$ なる未知関数を導入して，

$y=y_{1}z~~$

とおけば，二階線型常微分方程式が、$z~~$ に関する常微分方程式，

$y_{1}\frac{\,d^{\,2}z\,}{dx^{2}}+\Bigl(2y'_{1}+ P(x)y_{1}\Bigr)\frac{\,dz\,}{dx}=R(x), \quad \quad \left(y'_{1}=\frac{\,dy_{1}\,}{dx}\right)$

に変換される．この常微分方程式は，導関数 $\frac{dz}{dx}\,$ に関して一階線型常微分方程式 なので，求積法で解ける．その一般解を

$z=\psi(C_1,C_2,x)~~$

とすると，二階線型常微分方程式の一般解は，

$y=y_{1}\psi(C_1,C_2,x)~~$

で与えられる．なお，$C_1,C_2~~$ は積分定数である． $x~~$ の既知関数を含む二階線型常微分方程式で，求積法で解ける微分方程式は少ないが， 次の微分方程式などが知られている。

$\frac{\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}-xP(x)\frac{\,dy\,}{dx}+P(x)y=0.$

$\frac{\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}+P(x)\frac{\,dy\,}{dx}-a(a+P(x))y=0.$

$P(x)\frac{\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}+(a+bx)\frac{\,dy\,}{dx}-by=0.$

定数係数の二階線型常微分方程式

定数係数の二階線型常微分方程式はa, b を定数として

$\frac{\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}+a\frac{\,dy\,}{dx}+by=R(x)$

と書くことができる。R(x) が 0 である場合の斉次方程式

$\frac{\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}+a\frac{\,dy\,}{dx}+by=0$

は、二次方程式 λ² + a λ + b = 0 の二つの根 λ₁, λ₂ をもちいて

$(\frac{d}{dx} - \lambda_1)(\frac{d}{dx} - \lambda_2)y = 0$

と書き換えることができる。この方程式の一般解は、λ₁と λ₂とが異なる場合には、C₁, C₂ を積分定数として、

$y=C_1 e^{\lambda_1 x}+C_2 e^{\lambda_2 x}$

で与えられる。一方、二次方程式 λ² + a λ + b = 0 が重根をもつ場合の一般解は

$y= C_1 e^{-\frac{ax}{2}} +C_2 x e^{-\frac{ax}{2}}$

で与えられる。

関連項目

• 方程式
• 関数方程式
• 常微分方程式
• 偏微分方程式
• 変数分離
• 線形性
• 初期値問題
• 境界値問題
• 固有値問題