オイラーの和公式

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数学において、オイラーの和公式は級数の和を与える公式である^[1]。この公式は収束の遅い無限級数の和を求めるときに便利であるが、 $f (x)$ が多項式であるような場合を除き、 $m\to\infty$ とすればベルヌーイ数が急速に大きくなって発散する。従って、漸近展開のように発散する前の適当なところで打ち切らなければならない。この公式は台形公式による数値積分の誤差を示すものとも考えられる。

$\sum_{j=0}^{n-1}f(j)=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}$

$\sum_{j=1}^{n-1}f(j)+\frac{1}{2}\left(f(0)+f(n)\right)=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}$

$R_{m}=(-1)^{m+1}\int_{0}^{n}\frac{B_{m}(x-\lfloor{x}\rfloor)}{m!}f^{(m)}(x)dx$

但し、 $B n$ はベルヌーイ数、 $B n (x)$ はベルヌーイ多項式である。

$B_1=-\frac{1}{2},B_2=\frac{1}{6},B_3=0,B_4=-\frac{1}{30},B_5=0,B_6=\frac{1}{42},B_7=0,B_8=-\frac{1}{30},B_9=0,B_{10}=\frac{5}{66},\cdots$

$B_0(x)=1,B_1(x)=x-\frac{1}{2},B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},\dots$

なお、 $f (k)$ は導関数、 $\lfloor{x}\rfloor$ は床関数を表す。

[編集] 証明

ベルヌーイ多項式の性質(若しくは定義)により

$\int_{0}^1\frac{B_{k-1}(x)}{(k-1)!}f^{(k-1)}(x)dx=\int_{0}^1\left(\frac{B_{k}(x)}{k!}\right)'f^{(k-1)}(x)=\left[\frac{B_{k}(x)}{k!}f^{(k-1)}(x)\right]_0^1-\int_{0}^1\frac{B_{k}(x)}{k!}f^{(k)}(x)dx$

である。有限回の部分積分を繰り返して

$\int_{0}^1f(x)dx=\int_{0}^1B_0(x)f(x)dx=\sum_{k=1}^{m}\left[(-1)^{k-1}\frac{B_{k}(x)}{k!}f^{(k-1)}(x)\right]_0^1+(-1)^{m}\int_{0}^1\frac{B_{m}(x)}{m!}f^{(m)}(x)dx$

となるが、これは $f (x)$ を $f (j + x)$ に置き換えても成り立つから

$\begin{align}\int_{0}^{n}f(x)dx&=\sum_{j=0}^{n-1}\int_{0}^{1}f(j+x)dx\\ &=\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=1}^{m}\left[(-1)^{k-1}\frac{B_{k}(x)}{k!}f^{(k-1)}(x)\right]_0^1+(-1)^{m}\int_{0}^{n}\frac{B_{m}(x-\lfloor{x}\rfloor)}{m!}f^{(m)}(x)dx \end{align}$

である。 $B_1(0)=-\textstyle\frac{1}{2},$ $B_1(1)=\textstyle\frac{1}{2},B_{2k}(0)=B_{2k}(1)=B_{2k},$ $B 2 k + 1 (0) = B 2 k + 1 (1) = B 2 k + 1 = 0$ を代入すれば

$\int_{0}^{n}f(x)dx=\sum_{j=0}^{n-1}f(j)-\frac{1}{2}f(0)+\frac{1}{2}f(n)-\sum_{k=2}^{m}(-1)^{k}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)-R_m$

$R_m=(-1)^{m+1}\int_{0}^{n}\frac{B_{m}(x-\lfloor{x}\rfloor)}{m!}f^{(m)}(x)dx$

を得る。移項して形式を整えると

$\sum_{j=0}^{n-1}f(j)=\int_{x=0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}$

となる。或いは

$\begin{align}\sum_{j=1}^{n-1}f(j)+\frac{1}{2}\left(f(0)+f(n)\right) &=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=2}^{2m+1}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}\\ &=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}\\ \end{align}$