ネイピア数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
ネイピア数(ネイピアすう、英称:Napier's constant)は数学定数の一つであり、自然対数の底として用いられる。
目次 |
[編集] 概要
対数の研究を行ったイギリスの数学者ジョン・ネイピアの名がつけられているが、ネイピアが発見したわけではない。文字 "e" による表記は、オイラーによるものである。オイラーは、指数関数 ax が
を満たすとき a = e であることや、1/x の積分として定義された自然対数の底でもあることを示した。従って一般には自然対数の底と呼ばれることが多い。その値は
- e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …
と続く超越数である。オイラー数と呼ばれることもあるがオイラー γやオイラー数列とは別である。
[編集] 定義
よく用いられる定義をあげる。
[編集] 基本的な定義
- e = exp(1)
- ln(e) = 1
[編集] 定義に用いられる諸公式
ネイピア数を定義するために用いられる指数関数や対数関数の性質・公式を挙げる。

- という、初期値問題の解 y(x) によって exp x = y(x) が定義される。


これらの式と e = exp(1) などを組み合わせることでネイピア数が定義される。
[編集] 性質

(C は積分定数)
となる。また、e を底にとった対数関数 loge x (ln x と表すことも多い。紛らわしくない場合は log x と書くこともある)の導関数は
となる。したがってまた
である。
e は無理数である(→証明)のみならず超越数でもある(1873年:シャルル・エルミート)。
e の複素冪(ベキ)は指数関数の解析接続によるものであるが、特に純虚数を指数とする冪はオイラーの公式として知られる関係式
- eix = cosx + isinx
を満たす。殊更に x = π (π は円周率)を代入して得られるオイラーの等式
- eiπ + 1 = 0
はネイピアの数を含む基本的な数学定数の間の、直観的にはまったく明らかではない関係を記述するものである。
連分数展開
- e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10...]




