ネイピア数

ネイピア数（ネイピアすう、英称：Napier's constant）は数学定数の一つであり、自然対数の底として用いられる。

[編集] 概要

対数の研究を行ったイギリスの数学者ジョン・ネイピアの名がつけられているが、ネイピアが発見したわけではない。文字 "e" による表記は、オイラーによるものである。オイラーは、指数関数 a^x が

${d \over dx} a^x = a^x$

を満たすとき a = e であることや、1/x の積分として定義された自然対数の底でもあることを示した。従って一般には自然対数の底と呼ばれることが多い。その値は

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …

と続く超越数である。オイラー数と呼ばれることもあるがオイラー γやオイラー数列とは別である。

よく用いられる定義をあげる。

$e = \lim_{n \to \infty}\left( 1 + {1 \over n }\right)^n$

右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって、利子の複利計算との関連で言及されたものである。オイラーは、導関数がもとの関数と等しい指数関数の底が、上の等式の右辺によって求まることを示した。ここで n は自然数だが、n を「実数」としてとった極限も同じ値に収束する。

e = exp(1)
ln(e) = 1

exp(x) は指数関数、 ln(x) は自然対数であり、互いに逆関数になっている。指数関数や自然対数はネイピア数 e を用いて定義することもあるが、その場合は定義が循環してしまうため、このようにネイピア数の定義に用いることはできない。しかし、これらの関数はネイピア数 e を用いない定義も多く知られており、それらの定義を通して、ネイピア数を定義することができるようになる。

ネイピア数を定義するために用いられる指数関数や対数関数の性質・公式を挙げる。

$\exp (x) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!}$
$\frac{d}{dx} y(x) = y(x),\ y(0) = 1$

という、初期値問題の解 y(x) によって exp x = y(x) が定義される。
$\int_1^x \frac{dt}{t} = \ln x$
$\left.\frac{d}{da} x^a \right|_{a=0} = \ln x$