ネイピア数

グラフ y = 1/x で、範囲 1 ≤ x ≤ e における領域の面積は 1 になる。

青線が関数 y = e^x のグラフであり、x = 0 での接線（赤）の傾きは 1 である。破線は y = 2^x と y = 4^x。

自然対数の変数が e のときの値は 1 である。すなわち ln(e) = 1。

ネイピア数（ネイピアすう、Napier's constant）は数学定数の一つであり、自然対数の底として用いられる。レオンハルト・オイラーによって導入された記号 e によって表されることが普通であり、その値は

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …

と続く超越数である。オイラー数と呼ばれることもあるがオイラー γやオイラー数列とは別である。ネピアの定数（ネピア数）とも呼ばれる。

歴史

ネイピア数に関する最も古い研究はジョン・ネイピアによって1618年に発表された対数の研究の付録に収録されていた表である。その表自体はウィリアム・アウトレッドによって書かれたとされているが、そこで実際に記述されていたのは自然対数のいくつかの値だけで、対数の底自体は含まれていなかった。

はじめてネイピア数そのものを見い出したのはヤコブ・ベルヌーイだとされていて、

$\lim_{n \to \infty}\left( 1 + {1 \over n }\right)^n$

の値（これは e に等しくなる）を求めようとした。

この数に初めて定数記号を割り当てたのはゴットフリート・ライプニッツだとされている。1690年と1691年のクリスティアーン・ホイヘンス宛ての手紙の中で b という記号を使った。レオンハルト・オイラーは1727年からこの数を表すのに e という記号を使い始め、オイラーによる1736年の『力学』がネイピア数を e で表した最初の出版物となった。その後しばらくは c によってこの数を表す流儀もあったが、やがて e が標準的な記号として受け入れられるようになった。

オイラーは、指数関数 a^x が

${d \over dx}\, a^x = a^x$

を満たすとき a = e であることや、1/x の積分として定義された自然対数の底でもあることを示した。したがって、一般には e を自然対数の底と呼ぶことが多い。

定義

収束数列による定義

以下の式の右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって、利子の複利計算との関連で言及されたものである。

${\rm e} = \lim_{n \to \infty}\left( 1 + {1 \over n }\right)^n$

オイラーは、導関数がもとの関数と等しい指数関数の底が、この式の右辺によって求まることを示した。ここで n は自然数だが、n を実数として変動させた場合も上の式は同じ値に収束する。

微分積分学の基本的な関数を使った定義

e = exp(1)
ln(e) = 1

exp(x) は指数関数、 ln(x) は自然対数であり、互いに逆関数になっている。指数関数や自然対数はネイピア数 e を用いて定義することもあるが、その場合は定義が循環してしまうので、それらの関数をネイピア数の定義に用いることはできない。しかし、これらの関数は以下に示すようなネイピア数 e を用いない定義も多く知られており、それらの定義を通して、ネイピア数を定義することができるようになる。

定義に用いられる諸公式

ネイピア数を定義するために用いられる指数関数や対数関数の性質・公式を挙げる。これらの式と e = exp(1) などを組み合わせることによって、ネイピア数が定義できる。

• $\exp (x) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!}$

  これは関数 exp(x) = e^x をテイラー展開したものである。

• $\frac{d}{dx}\, y(x) = y(x)\ ,\quad y(0) = 1$

  という常微分方程式の初期値問題の解 y(x) によって exp(x)= y(x) が定義される。

• $\int_1^x \frac{dt}{t} = \ln x$
• $\left.\frac{d}{da} x^a \right|_{a=0} = \ln x$

性質

e を底にとった指数関数 e^x の導関数と不定積分は

$\frac{d}{dx}\,{\rm e}^x={\rm e}^x,$

$\int {\rm e}^x\,dx={\rm e}^x + C$ （C は積分定数）

となる。また、e を底にとった対数関数 log_e x （ln x と表すことも多い。紛らわしくない場合は log x と書くこともある）の導関数は

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

となる。したがってまた

$\int\frac{dx}{x}=\ln x + C$

である。

e は無理数である（ネイピア数の無理性の証明、オイラー、1744年）だけでなく超越数でもある（シャルル・エルミート、1873年）。

指数関数の解析接続によって一般の複素数を指数とした e の冪乗 e^z が定義されるが、特に純虚数を指数とする冪はオイラーの公式として知られる関係式

e^ix = cos x + isin x

を満たす。この式の特別な場合として x = π （π は円周率）を代入して得られるオイラーの等式

e^iπ + 1 = 0

はネイピアの数を含む基本的な数学定数の間の、直観的にはまったく明らかではない関係を記述するものである。

ネイピア数は以下の連分数展開をもつ：

e = [2; 1, 2, 1,　1, 4, 1,　1, 6, 1,　1, 8, 1,　1, 10...]

関連項目

• 超越数
• 自然対数
• 指数関数

参考文献

• 高木貞治 『解析概論』 岩波書店、1983年9月27日、改訂第3版 軽装版。ISBN 4-00-005171-7。
  • 高木貞治 『定本　解析概論』 岩波書店、2010年9月15日。ISBN 978-4-00-005209-2。
• L・S・ポントリャーギン 『やさしい微積分』 坂本實訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫 ホ13-1 Math & Science〉、2008年8月。ISBN 978-4-480-09149-9。

外部リンク

• e MathWorld
• Napier's constant Wolfram Alpha