ネイピア数

グラフ y = 1/x で、範囲 1 ≤ x ≤ e における領域の面積は 1 になる。

青線が関数 y = e^x のグラフであり、x = 0 での接線（赤）の傾きは 1 である。破線は y = 2^x と y = 4^x。

自然対数の変数が e のときの値は 1 である。すなわち ln e = 1。

ネイピア数（ネイピアすう、Napier's constant）は数学定数の一つであり、自然対数の底として用いられる。レオンハルト・オイラーによって導入された記号 e によって表されることが普通であり、その値は

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …

と続く超越数である。オイラー数と呼ばれることもあるがオイラー γ やオイラー数列とは別である。ネピアの定数（ネピア数）とも呼ばれる。

歴史 [編集]

ネイピア数に関する最も古い研究はジョン・ネイピアによって1618年に発表された対数の研究の付録に収録されていた表である。その表自体はウィリアム・アウトレッドによって書かれたとされているが、そこで実際に記述されていたのは自然対数のいくつかの値だけで、対数の底自体は含まれていなかった。

初めてネイピア数そのものを見い出したのはヤコブ・ベルヌーイだとされていて、

$\lim_{n \to \infty}\left( 1+ {1 \over n }\right)^n$

の値（これは e に等しくなる）を求めようとした。

この数に初めて定数記号を割り当てたのはゴットフリート・ライプニッツだとされている。1690年と1691年のクリスティアーン・ホイヘンス宛ての手紙の中で b という記号を使った。レオンハルト・オイラーは1727年からこの数を表すのに e という記号を使い始め、オイラーによる1736年の『力学』がネイピア数を e で表した最初の出版物となった。その後しばらくは c によってこの数を表す流儀もあったが、やがて e が標準的な記号として受け入れられるようになった。

オイラーは、指数関数 a^x が

${d \over dx}\, a^x = a^x$

を満たすとき a = e であることや、1/x の積分として定義された自然対数の底でもあることを示した。したがって、一般には e を自然対数の底と呼ぶことが多い。

定義 [編集]

収束数列による定義: 以下の式の右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって、利子の複利計算との関連で言及されたものである。; $e= \lim_{n \to \infty}\left( 1 + {1 \over n }\right)^n$; オイラーは、導関数がもとの関数と等しい指数関数の底が、この式の右辺によって求まることを示した。ここで n は自然数だが、n を実数として変動させた場合も上の式は同じ値に収束する。
微分積分学の基本的な関数を使った定義: e = exp 1
ln e = 1; exp x は指数関数、ln x は自然対数であり、互いに逆関数になっている。指数関数や自然対数はネイピア数 e を用いて定義することもあるが、その場合は定義が循環してしまうので、それらの関数をネイピア数の定義に用いることはできない。しかし、これらの関数は以下に示すようなネイピア数 e を用いない定義も多く知られており、それらの定義を通して、ネイピア数を定義することができるようになる。

定義に用いられる諸公式 [編集]

ネイピア数を定義するために用いられる指数関数や対数関数の性質・公式を挙げる。これらの式と e = exp 1 などを組み合わせることによって、ネイピア数が定義できる。

$\exp x= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!}$
これは関数 $\exp x= e^x$ をテイラー展開したものである。
$\frac{d}{dx}\, y(x) = y(x)\ ,\quad y(0) = 1$
という常微分方程式の初期値問題の解 y(x) によって exp x = y(x) が定義される。
$\int_1^x \frac{dt}{t} = \ln x$
$\left.\frac{d}{da} x^a \right|_{a=0} = \ln x$