連分数

連分数（れんぶんすう、英: continued fraction）とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に正則連分数（英: regular continued fraction）ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。

$x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3}}}$

ここで a₀ は整数、それ以外の a_n は正の整数である。正則連分数は、最大公約数を求めるユークリッドの互除法から自然に生じるものであり、古来からペル方程式の解法にも利用された。

連分数を式で表す際には次のような書き方もある。

$x = a_0 + \frac{1}{a_1 + {}}\, \frac{1}{a_2 + {}}\, \frac{1}{a_3}$
または
x = [a₀; a₁, a₂, a₃]

また、極限の概念により、分数を無限に連ねたものも考えられる。

$[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}]$

二次無理数（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。

連分数展開の例 [編集]

例として黄金数 φ を考える^[1]。φ は x² - x - 1 = 0 の正の解である。この式を変形すると、

$\begin{align} x^2 &= x + 1 \\ x &= 1 + \frac{1}{x} \\ &= 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}} \\ &= 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}}}\end{align}$

以下同様にして、

$\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}}}} = [1; 1, 1, 1, 1, 1, \ldots]$

と表す事が出来る。

より一般的には、x² - n x = 1 の根を次のように表すことができる。

$n + \cfrac{1}{n+\cfrac{1} {n+\cfrac{1} {n+\cfrac{1} {n+\ddots\,}}}} = [n;n,n,n,n,\dots] = \frac{1}{2}\left(n+\sqrt{n^2+4}\right)\,$

連分数の計算方法 [編集]

いまある数 ω が与えられたとする。ω を超えない最大の整数を a₀ とし、

$\omega = a_{0}+\frac{1}{\omega_{1}}$

となるよう ω₁ を定める。ω₁ が整数でないならば、ω₁ を超えない最大の整数を a₁ とし、

$\omega_{1} = a_{1}+\frac{1}{\omega_{2}}$

となるように ω₂ を定めることができる。以下この作業を繰り返すことにより、n 段までの連分数

$a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1} {a_2+\cfrac{1}{\ddots a_{n-1}+\cfrac{1}{\omega_n}}}}$

を求めることができる。もし ω が有理数ならば、この作業は有限回で終了するが、無理数ならば無限にこの作業が続く。

p_n /q_n は ω に収束する。すなわち上記の作業を繰り返すことによりいくらでも実数ω に近い有理数を求めることができる。また、ω と連分数の差は

$\left| \omega - \frac{p_n}{q_n} \right| < \frac{1}{q_n^2}$

となることが知られており、連分数はディオファントス近似の解を求める手段として有効である。

連分数の性質 [編集]

いま、a₀ は整数、それ以外の a_n は正の整数であるような数列

$a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$

があるとき、数列 p_n , q_n を以下のように定める。

$\begin{cases} p_0=1\\ p_1=a_0\\ p_n=a_{n-1}p_{n-1}+p_{n-2} (n\ge 2) \end{cases} \quad \begin{cases} q_0=0\\ q_1=1\\ q_n=a_{n-1}q_{n-1}+q_{n-2} (n\ge 2) \end{cases}$

このとき、連分数は

$[a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n-1}]= \frac{a_{n-1}p_{n-1}+p_{n-2}} {a_{n-1}q_{n-1}+q_{n-2}}=\frac{p_n}{q_n}$

となる。

p_n とq_n にユークリッドの互除法を適用すると、割り算の商として数列a₀ , a₁ , ... , a_{n -1} のn 個の整数が順番に現れる。上記の数列 p_n , q_n の定義は互除法の操作を逆にたどったものともいえる。

また、p_n , q_n は整数であるから、ユークリッドの互除法の帰結より、p_n と q_n は互いに素である。つまり連分数 p_n /q_n は既約分数である。

さらに |p_{n +1} q_n - p_n q_{n +1}| = 1 である。また、p_n と p_{n +1} および、q_n と q_{n +1} も互いに素である。

なお数列a_n が全て 1 の場合、数列p_n 、q_n はともにフィボナッチ数列 (F₀ = 0 , F₁ = 1 ) である。すなわち

$\frac{p_n}{q_n} = \frac{F_{n+1}}{F_n}$

である。そして、上で記したようにこの連分数は黄金比に収束する。ゆえに隣合うフィボナッチ数列の比は黄金比に収束することが分かる。

様々な数の連分数展開 [編集]

2の平方根

$\sqrt{2}=[1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, \dots]= 1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1} {2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\cdots}}}}}}}$
3の平方根

$\sqrt{3}=[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, \dots]= 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1} {1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\cdots}}}}}}}$
黄金数の逆数 φ^-1 = [0; 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]
白銀数^[1]
- 白銀数の逆数 ${1 \over {1 + \sqrt 2 }} = -1 + \sqrt 2 = [0; 2, 2, 2, 2, 2, 2,\dots]$