ペル方程式

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ペル方程式(ペルほうていしき、: Pell's equation)とは平方数ではない自然数nに対して、下記の方程式の整数解を求める問題である。

x^2 - n y^2 = 1\,

「整数解」「有理数解」という条件を付けて解く方程式を一般にディオファントス方程式と呼ぶ。ペル方程式はディオファントス方程式の一種である。

ペル方程式の一般的な解法は、1150年にインドのバースカラ2世が見つけている。彼はブラーマグプタチャクラバーラ法 (Chakravala methodを改良した解法を使い、同じ技法を応用して不定二次方程式や二次ディオファントス方程式の一般解も見つけた。西洋におけるペル方程式の一般的な解法は、ウィリアム・ブランカーが発見した。しかし、オイラーはこの方程式を研究したのはジョン・ペルであると誤解し「ペル方程式」と命名したため、その名前が広く使われるようになった。

解法[編集]

平方数でない正の整数nに対してペル方程式は必ず自明な解(x=1, y=0)以外の整数解を持つことが知られている。また1つの解(x, y)を得たとすれば、

x_k + y_k\sqrt{n} = (x + y\sqrt{n})^k\,

は全てペル方程式の解になる。また逆にペル方程式の全ての解は最小解の冪乗になることが知られている。

例えばnが5ならば、(x, y) = (9, 4)が最小解である。nが61の場合は (x, y)= (1766319049,  226153980)が最小解である。

解の公式から

\alpha=x+y\sqrt{n}, \beta=x-y\sqrt{n}

とおくと、

x_k=(\alpha^k+\beta^k)/2, y_k=(\alpha^k-\beta^k)/(2\sqrt{n})

が得られる。つまり、ペル方程式の解に対して、 yk / y , 2 xkリュカ数列を構成する。

拡張[編集]

冒頭の不定方程式の右辺を1のかわりに-1としたもの

x^2 - n y^2 = -1\,

もペル方程式とよばれることがあるが、これは n の値によっては解を持たないこともある。

また、右辺を1の代わりに4としたもの

x^2 - n y^2 = \pm 4\,

もペル方程式とよばれることがあるが、これは二次体単数と深く関連している。 K を二次体とし、 D をその判別式とすると、

x^2 - Dy^2 = \pm 4\,

の整数解に対して

(x+y\sqrt{D})/2

全体は K の単数全体と一致する。特に最小解を( x 1, y 1)とおくと、

\alpha=(x_1+y_1\sqrt{D})/2, \beta=(x_1-y_1\sqrt{D})/2

K の基本単数となり、この方程式の解について、通常のペル方程式の場合と類似した公式

\frac{x_k + y_k\sqrt{D}}{2} = \left(\frac{x_1 + y_1\sqrt{D}}{2}\right)^k\,

が得られる。

関連項目[編集]