超越数

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超越数(ちょうえつすう, transcendental number)とは、代数的数でない数、すなわち有理係数の代数方程式

x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0   (n\ge 1 かつ、各 \displaystyle a_i有理数

とならないような複素数のことである。有理数一次方程式の解であるから、超越的な実数はすべて無理数になる。超越数論は、超越数について研究する数学の分野で、与えられたの超越性の判定などが主な問題である。

よく知られた超越数にネイピア数自然対数の底)や円周率がある。ただし超越性が示されている実数のクラスはほんの僅かであり、与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率がともに超越数であることがよく知られているにもかかわらず、それをただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない。

超越数の例[編集]

最初に証明した人を括弧内に記述するが、特別な条件の場合に対しては、別な人が既に証明しているものも多々ある。ただしそれらの詳細についてはここの一覧では触れない。詳細は、各記事ならびに参考文献などを参照のこと。

(1) 超越数となる定数の例

(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例

  • 代数的数 \scriptstyle \alpha\ne 0 に対する、e^{\alpha} 。 (リンデマン)
  • \scriptstyle i\alpha が有理数ではない代数的数 \scriptstyle \alpha に対する、e^{\alpha\pi} 。 (ゲルフォント (A. O. Gel'fond)、シュナイダー (Th. Schneider))
  • 代数的数 \scriptstyle \alpha,\ \beta\ne 0 に対する、e^{\alpha\pi + \beta} 。 (ベイカー (A. Baker))
  • 代数的数 \scriptstyle \alpha\ne 0 に対する、\sin{\alpha}, \cos{\alpha}, \tan{\alpha} 。 (リンデマン、ワイエルシュトラス (K. Weierstrass))
  • 有理数ではない代数的数 \scriptstyle \alpha に対する、\sin{\alpha\pi}, \cos{\alpha\pi}, \tan{\alpha\pi} 。 (ゲルフォント、シュナイダー)
  • 代数的数 \scriptstyle \alpha,\ \beta\ne 0 に対する、\sin{(\alpha\pi+\beta)}, \cos{(\alpha\pi+\beta)}, \tan{(\alpha\pi+\beta)} 。 (ベイカー)
  • 代数的数 \scriptstyle \alpha\ne 0 に対する、\sinh{\alpha}\quad, \cosh{\alpha}\quad, \tanh{\alpha}\quad 。 (リンデマン、ワイエルシュトラス)
  • \scriptstyle i\alpha が有理数ではない代数的数 \scriptstyle \alpha に対する、\sinh{\alpha\pi}, \cosh{\alpha\pi}, \tanh{\alpha\pi} 。 (ゲルフォント、シュナイダー)
  • 代数的数 \scriptstyle \alpha,\ \beta\ne 0 に対する、\sinh{(\alpha\pi+\beta)}, \cosh{(\alpha\pi+\beta)}, \tanh{(\alpha\pi+\beta)} 。 (ベイカー)
  • \scriptstyle \alpha\ne 0,\ 1,\ \beta\notin\mathbb{Q} を満たす代数的数 \scriptstyle \alpha,\ \beta に対する、\alpha^{\beta} 。 (ゲルフォント、シュナイダー)
  • 代数的数 \scriptstyle \alpha\ne 0,\ 1 に対する、\log{\alpha} 。 (リンデマン)
  • 乗法的独立[注 1]である、0, 1 ではない代数的数 \scriptstyle \alpha,\ \beta に対する、\log{\alpha}/\log{\beta} 。 (ゲルフォント、シュナイダー)
  • 代数的数 \scriptstyle \alpha\ne 0 に対する、\pi + \log{\alpha} 。 (ベイカー)

(3) 特殊関数の特殊値が超越数となる例

(4) ベキ級数で表される関数の特殊値が超越数となる例

  • リウヴィル級数:\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1 である代数的数 \scriptstyle \alpha に対する、\textstyle \sum_{k=1}^\infty\alpha^{-k!} 。 (マーラー)
  • フレドホルム級数:2以上の整数 d と、\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1 である代数的数 \scriptstyle \alpha に対する、\textstyle \sum_{k=1}^\infty\alpha^{d^k} 。 (マーラー)
  • 自然数列 \scriptstyle \{d_k\}_{k\ge 1}\ (d_k \ge 2) と、\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1 である代数的数 \scriptstyle \alpha に対する、\textstyle \sum_{k=1}^\infty\alpha^{d_1\cdots d_k} 。 (西岡)
  • \scriptstyle \omega>0 、整数 \scriptstyle d\ge 2\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1 である代数的数 \scriptstyle \alpha に対する、\textstyle \sum_{k=1}^\infty\alpha^{[\omega d^k]} 。 (田中)
  • ヘッケ=マーラー級数:無理数 \scriptstyle \omega>0 と、\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1 である代数的数 \scriptstyle \alpha に対する、\textstyle \sum_{k=1}^\infty[k\omega]\alpha^{k} 。 (マーラー)
  • 整数 \scriptstyle d\ge 2\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1 である代数的数 \scriptstyle \alpha に対する、\scriptstyle\prod_{k=0}^\infty(1-\alpha^{d^k}) 。 (マーラー)
  • \scriptstyle 0 <|\alpha| < 1 である代数的数 \scriptstyle \alpha に対する、\scriptstyle\prod_{k=0}^\infty(1-\alpha^k) 。 (ネステレンコ)
  • \sigma_k(n) (\scriptstyle k=1,\ 3,\ 5)を約数関数とする。\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1 である代数的数 \scriptstyle \alpha に対する、\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty\sigma_k(n)\alpha^{n} 。 (ネステレンコ)

(5) 逆数和からなる級数が超越数となる例

  • \scriptstyle |a|\ge 2を満たす整数 a に対する、\textstyle \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{a^{2^k}+1} 。 (ドゥヴェルネ (D. Duverney))

以下において、\scriptstyle\{F_n\}_{n\ge 0} はフィボナッチ数列とする。

  • \textstyle \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k! F_{2^k}} 。 (ミニョット (M. Mignotte)、マーラー)
  • \textstyle \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{F_{2^k}} 。 (西岡、トッファー (T. Töpher))
  • \textstyle \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{F_{2^k+1}} 。 (ベッカー (P. -G. Becker)、トッファー)
  • 任意の正整数 m に対する、\textstyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{F^{2m}_n},\  \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{F^{m}_{2n-1}} 。 (ドゥヴェルネ、西岡(啓)、西岡(久)、塩川)

超越数かどうか分からない例[編集]

e+\pi ,e-\pi ,e\pi,\frac{\pi}{e} ,{\pi}^{\pi} ,e^e ,\pi^e ,\pi^{\sqrt{2}} ,e^{\pi^2}

などの円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。一方で、

\pi +e^{\pi} ,\pi e^{\pi} ,e^{\pi \sqrt{n}}n は正の整数)

は、超越的であると証明されている[1][2]

代数的独立性[編集]

複数の超越数が代数的独立である例を挙げる。

  • \alpha_1,\ \alpha_2,\ldots,\ \alpha_n を有理数体上線形独立な代数的数としたとき、e^{\alpha_1},\ e^{\alpha_2},\ldots,\ e^{\alpha_n} は、代数的独立である。(リンデマン、ワイエルシュトラス)
  • \scriptstyle \pi,\ \Gamma(1/4)、および、\scriptstyle \pi,\ \Gamma(1/3) は、それぞれ代数的独立である。(チュドノフスキー)
  • \scriptstyle \pi,\ e^\pi,\ \Gamma(1/4) は、代数的独立である。(ネステレンコ)
  • 代数的数 \scriptstyle \alpha_1,\ldots,\ \alpha_n\ (0 < |\alpha_i| < 1\ (i = 1,\ldots,\ n)) を、\alpha_i/\alpha_j が1のベキ根ではないようにとったとき、\textstyle \sum_{k=1}^\infty\alpha_1^{-k!},\ldots,\ \sum_{k=1}^\infty\alpha_n^{-k!} は、代数的独立である。 (西岡)
  • 相異なる 2 以上の整数 \scriptstyle d_1,\ldots,\ d_n と、\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1 である代数的数 \scriptstyle \alpha に対して、\textstyle \sum_{k=1}^\infty\alpha^{d_1^k},\ldots,\ \sum_{k=1}^\infty\alpha^{d_n^k} は、代数的独立である。 (西岡)
  • 2次の無理数 \scriptstyle \omega>0 と、相異なる代数的数 \scriptstyle \alpha_1,\ldots,\ \alpha_n\ (0 < |\alpha_i| < 1\ (i = 1,\ldots,\ n)) に対して、\textstyle \sum_{k=1}^\infty[h\omega]\alpha_1^{-k},\ldots,\ \sum_{k=1}^\infty[k\omega]\alpha_n^{-k} は、代数的独立である。 (マッサー (D. W. Masser))
  • 相異なる 2 以上の整数 \scriptstyle d_1,\ldots,\ d_n と、\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1 である代数的数 \scriptstyle \alpha に対して、\scriptstyle \prod_{k=0}^\infty\left(1-\alpha^{d_1^k}\right),\ldots,\  \prod_{k=0}^\infty\left(1-\alpha^{d_n^k}\right) は、代数的独立である。 (西岡)
  • 相異なる 2 以上の整数 \scriptstyle d_1,\ldots,\ d_n に対して、\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{F_{2^k + 1}^{d_1}},\ldots,\  \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{F_{2^k + 1}^{d_n}} は、代数的独立である。 (西岡)
  • \scriptstyle m_1,\ m_2,\ m_3 を少なくとも1つは偶数である正整数としたとき、\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{F^{2m_1}_n},\ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{F^{2m_2}_n}, \ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{F^{2m_3}_n} は、代数的独立である。 (エルスナー (C. Elsner)、下村、塩川)

代数的独立性には、シャヌエルの予想 (Schanuel's conjecture)と呼ばれる有名な予想があり、現在でも解決されていない。(n=1のときでさえも、未解決である。)

シャヌエルの予想

\alpha_1,\ \alpha_2,\ldots,\ \alpha_n を有理数体上線形独立な複素数としたとき、

\bold{trans}.\deg_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(\alpha_1,\ \alpha_2,\ldots,\ \alpha_n,\ e^{\alpha_1},\ e^{\alpha_2},\ldots,\ e^{\alpha_n})\ge n[注 5]

注意: \alpha_1,\ \alpha_2,\ldots,\ \alpha_n が代数的数のときは、リンデマン=ワイエルシュトラスの定理である。

この予想が解決すると、様々な数が代数的独立になることが知られている。 そのなかの一例を挙げる:

以下の 17 個の数は、代数的独立である:

e,\ e^{\pi},\ e^e,\ e^i,\ \pi,\ \pi^{\pi},\ \pi^e,\ \pi^i,\ 2^\pi,\ 2^e,\ 2^i,\ \log\pi,\ \log 2,\ \log 3,\ \log\log 2,\ (\log 2)^{\log 3},\ 2^{\sqrt{2}}

注意:上記の数のうち、e^e,\ \pi^\pi,\ \pi^e,\ \pi^i,\ 2^{\pi},\ 2^e,\ \log\pi,\ \log\log 2,\ (\log 2)^{\log 3} については、現状、超越数であるかは不明である。

マーラーの分類[編集]

複素数 \alpha に対して、

w_{n, H}(\alpha) = \min\{ |f(\alpha)|\ |\ f(z) = {\textstyle\sum_{i=0}^na_iz^i}, f(\alpha)\ne 0, |a_0|,\ldots, |a_n|\le H \},
w_n(\alpha) = \lim\sup_{H\to\infty}\frac{-\log w_{n, H}(\alpha)}{\log H},
w(\alpha) = \lim\sup_{n\to\infty}\frac{w_n(\alpha)}{n}

として、w(\alpha) を定める。このとき、\scriptstyle 0\le w(\alpha)\le\infty が成立する。

また、\scriptstyle \mu(\alpha) = \inf\{ n | w_n(\alpha) = \infty \} とする。但し、\scriptstyle w(\alpha) < \infty の場合、\scriptstyle \mu(\alpha) = \infty とする。

この \scriptstyle w(\alpha),\ \mu(\alpha) を用いて、マーラーは、複素数を以下の様に分類した。これをマーラーの分類(Mahler's classification) と呼ぶ。

  • \alpha は、A 数 (A-number)である。 \Longleftrightarrow w(\alpha) = 0,\ \mu(\alpha) = \infty
  • \alpha は、S 数 (S-number)である。 \Longleftrightarrow 0 < w(\alpha) < \infty,\ \mu(\alpha) = \infty
  • \alpha は、T 数 (T-number)である。 \Longleftrightarrow w(\alpha) = \infty,\ \mu(\alpha) = \infty
  • \alpha は、U 数 (U-number)である。 \Longleftrightarrow w(\alpha) = \infty,\ \mu(\alpha) < \infty

以下の様な性質がある。

  • A 数からなる集合、S 数からなる集合、T 数からなる集合、U 数からなる集合は、いずれも空集合ではない。
  • \alpha,\ \beta を代数的従属である複素数としたとき、\alpha,\ \beta は同じクラス(同じ分類の数)である。
  • A 数からなる集合は、代数的数全体の集合に等しい。
  • ほとんど全て[注 6]の複素数は、S 数である。
    • さらに、ほとんど全ての実数は、タイプ[注 7] 1 の S 数であり、ほとんど全ての複素数は、タイプ 1/2 の S 数である。
  • 全てのリウヴィル数 は、U 数である。
  • 任意の正整数 n に対して、\mu(\alpha) = n を満たす U 数が存在する。

また、いくつかの具体的な超越数に対して、どのクラスに属するかについては、例えば、以下のことが知られている。

  • 自然対数の底 e は、タイプ 1 の S 数である。
  • \pi は、U 数ではない。
  • チャンパーノウン定数は、S 数である。
  • r を 1以外の正の有理数としたとき、\log r は、U 数ではない。

超越測度[編集]

超越数 \alpha に対して、T(\alpha, n, H) を、\scriptstyle n\ge 1,\ H\ge 1 で定義された実数を値にとる関数とする。

次数が n 以下で、各係数の絶対値が H 以下である、0 以外の整数係数多項式に対して、

|f(\alpha)| \ge T(\alpha, n, H)

が、任意の \scriptstyle n\ge 1,\ H\ge 1 で成立するとき、T(\alpha, n, H)\alpha超越測度 (transcendence measure) という。

マーラーの分類のところで与えられた、w_{n,H}(\alpha) は、超越測度の1つであり、その定義から、最良の評価を与えるものである。

歴史[編集]

リウヴィルは、1844年に超越数の最初の例を与えた(リウヴィル数)。さらに1873年にシャルル・エルミートによって、自然対数の底 e が超越数であることが証明された。

カントール1874年に、実数全体の集合が非可算集合である一方で代数的数全体の集合が可算無限集合であることを示すことにより、ほとんどの実数や複素数は超越数であることを示した。

その後、リンデマンは、1882年に円周率 \pi が超越数であることを証明した。これによって古代ギリシャ数学以来の難問であった円積問題が否定的に解かれた。また、彼は、任意の0でない代数的数 a に対する ea が超越数であることも証明した(リンデマンの定理)。

ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題を提出したが、そのうちの 7番目の問題「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、ab は超越数であるか」は1934-1935年にゲルフォントとシュナイダーによって肯定的に解決された(ゲルフォント=シュナイダーの定理)。

1968年ベイカーは、ゲルフォント=シュナイダーの定理を含む、代数的数の1次形式の超越性および、1次形式の値が計算可能な下限で与えられることを証明した(ベイカーの定理を参照)。特に後者の結果は、ディオファントス方程式の整数解の上限を求めるための基本的な定理として重要なものである。この功績により、彼は、1970年フィールズ賞を受賞した。

1996年、ネステレンコにより、長い間懸案であった、\piと、e^{\pi}ゲルフォントの定数) の代数的独立性が証明された。

脚注[編集]

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  1. ^ 整数 \scriptstyle k,\ l に対して、\scriptstyle \alpha^k \beta^l = 1 ならば、\scriptstyle k = l = 0 が成り立つとき、\scriptstyle \alpha,\ \beta は、乗法的独立であるという。
  2. ^ \scriptstyle \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} であるので、\scriptstyle \Gamma(1/2) が超越数であることは、チュドノフスキー以前から知られていた。
  3. ^ 但し、ここでは、テータ関数の第2変数 \tau を、q = e^{2\pi i\tau} で変数変換した級数で考えている。
  4. ^ しかしながら、例えば e+π, e-π のうち少なくとも一方は超越数である。これは代数的数全体がをなすことからわかる。
  5. ^ trans.deg は、超越次数を表す。代数性・超越性 を参照。
  6. ^ 実数の部分集合の場合は、1次元のルベーグ測度、複素数の部分集合の場合は、2次元のルベーグ測度の意味で、測度 0 となる集合は例外とするという意味。
  7. ^ \scriptstyle\theta(\alpha)=\sup_{n\to\infty}w_n(\alpha)/n\alpha のタイプという。

出典[編集]

参考文献[編集]

  • 塩川, 宇賢 『無理数と超越数』 森北出版、東京、1999年
  • リーベンボイム, P. 『我が数よ、我が友よ 数論への招待』 吾郷孝視訳、共立出版、東京、2003年
  • Alan, Baker (1975). Transcendental number theory. New York: Cambridge University Press. 
  • W.M., Schmidt (1980). Diophantine Approximations, Lecture Notes in Math. 785. New York: Springer-Verlag. 
  • W.M., Schmidt (1991). Diophantine approximations and diophantine equations, Lecture Notes in Math. 1467. New York: Springer-Verlag. 
  • Kumiko, Nishioka (1996). Mahler Functions and Transcendence, Lecture Notes in Math. 1631. New York: Springer-Verlag. 
  • D. Duverney, Ke. Nishioka, Ku. Nishioka and I. Shiokawa (1997). “Transcendence of Rogers-Ramanujan continued fraction and reciprocal sums of Fibonacci numbers”. Proc. Japan Acad. (73A): 140-142. 
  • K. Tanaka (2002). “Transcendence of the values of certain series with Hadamard's gaps”. Arch. Math. (78): 202-209. 
  • 塩川宇賢 (2008). “フィボナッチ数と超越数”. 数理科学 (第46巻8号): 46-51. 
  • 三井, 孝美 『解析数論--超越数論とディオファンタス近似論--』 共立出版、東京、1977年