ベータ関数

数学に於いて、ベータ関数（ベータかんすう, beta function）とは、ルシャンドルの定義に従って第一種オイラー積分とも呼ばれる特殊関数である。

定義

$\Re(x)>0$, $\Re(y)>0$を満たす$x$, $y$に対して、

$\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt \!$

に拠って定義される関数をベータ関数と呼ぶ。

性質

対称性

ベータ関数は次のような対称性を持つ。

$\mathrm{\Beta}(x,y) = \mathrm{\Beta}(y,x). \!$

関数等式

ベータ関数は次の関係式を満たす。

• $x \mathrm{\Beta}(x,y+1) = y \mathrm{\Beta}(x+1,y). \!$

• $\mathrm{\Beta}(x,y) = \mathrm{\Beta}(x+1,y) + \mathrm{\Beta}(x,y+1). \!$

• $(x+y) \mathrm{\Beta}(x,y+1) =y \mathrm{\Beta}(x,y). \!$

積分表示

積分に拠る定義に於いて、変数変換を行うことで、以下の形にも表示できる。

• $\mathrm{\Beta}(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0 \!$

• $\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0 \!$

• $\mathrm{\Beta}(x,y) = \frac{1}{2^{x+y-1}} \int_{-1}^{1} (1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1} \,dt, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0 \!$

ポッホハマーの表示

$\log(\zeta(\zeta-1))$のリーマン面上の積分路として、実軸上の$(0,1)$内の点から出発し、$1$を正の向きに、$0$を正の向きに、$1$を負の向きに、$0$を負の向きの順で回って、元の点に戻るポッホハマーの積分路を取れば、次のポッホハマーの表示が成り立つ。

$\mathrm{\Beta}= \frac{e^{-i\pi(x+y)}}{4\sin{\pi x}\sin{\pi y}} \int_{C}\zeta^{x-1}(1-\zeta)^{y-1} \, d\zeta$

ガンマ関数との関係

ベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。

$\mathrm{\Beta}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \!$

級数表示

$\mathrm{\Beta}(x,y) = \frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{y^{\underline{n+1}}}{n!(x+n)} \!$

但し、$x^{\underline{n}}$は下降階乗冪

$x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)$

である。

特殊値

$x=y=\frac{1}{2}$のとき、以下が成り立つ。

$\Beta \biggl ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \biggr )= \pi \,$

正の整数$l$, $m$に対して、以下が成り立つ。

$\Beta(l,m)= \frac{(l-1)!(m-1)!}{(l+m-1)!} \,$

参考文献

• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目

• 二項係数
• オイラー積分
• ガンマ関数
• 不完全ベータ関数

外部リンク

• ベータ関数の計算