場の量子論

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場の量子論
Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg
(ファインマン・ダイアグラム)
歴史

場の量子論(ばのりょうしろん: Quantum Field Theory)は、量子化された素粒子物理ではこれが素粒子そのものに対応する)の性質を扱う理論である。

概要[編集]

現代的な立場では、量子論の中でも、基本変数として「粒子剛体古典力学と同じもの(たとえば位置運動量)」に選び、足りないもの(スピンなど)は適宜補った量子論を「量子力学」と呼び、基本変数として「とその時間微分または共役運動量」に選んだ量子論を「場の量子論」と呼ぶ。量子力学は、場の量子論を低エネルギー状態に限った時の近似形として得られる。現代では、古典的に場であったもの(電磁場など)だけでなく、古典的に粒子とみなされてきた物理系(電子など)の量子論も、場を基本変数にしたほうが良いことが判っている。[1]

場の量子論は、高エネルギーの系や、凝縮系(多体系)を記述する。場の量子論は特殊相対論的要請を満たす形式を備え、量子力学と特殊相対性理論の両方を満足する。素粒子物理原子核物理学物性物理といった領域で、基礎理論として用いられる。

素粒子物理学 
素粒子の振る舞いを記述するのに用いられる。素粒子が反応し新たな素粒子となる現象はその一例である。量子電磁力学ワインバーグ・サラム理論量子色力学といった、実験によって検証されている理論や、弦理論等の仮説上の理論が、場の量子論を基礎として研究されている。
物性物理学 
臨界現象相転移などの多体論的効果を記述する。超伝導BCS理論量子相転移といった物理が、場の量子論の文脈により理解される。

摂動的場の量子論では、粒子の間に働く力は、力を伝える粒子の交換により生じる。例として電子の間に働く電磁力は、光子の交換により生じる。同様に、ウィークボソン弱い力を媒介し、グルーオン強い力を媒介する。

力を媒介するのと同じ場の励起である光子が、塊状のとして電磁波となり、またナノスケールの現象においては粒子のように振舞う。電子も同様で、対応した場の励起として表される。このように、古典物理での粒子と場は、場の量子論により粒子と場の2重性を持つ形式に書き改められる。

初めに完成した場の量子論は、電磁場に適用した量子電磁力学である。この理論は、非常に高い精度で実験結果と一致し、繰り込みゲージを用いる方法はワインバーグ=サラム理論量子色力学の基礎となった。

数学的手法[編集]

量子化・相対論化

量子力学を場の量子論に拡張するために、場における粒子の生成/消滅を扱う生成消滅演算子を導入することで、場の量子化を行うことができる。また、場の波動関数を場の量子化によってディラック方程式に還元することで、相対論的不変形式へと相対論化できる。

ゲージ・繰り込み

素粒子間の力の相互作用ゲージ理論によって記述され、発散の問題は繰り込みで回避される。

成立史[編集]

背景[編集]

ジェームズ・クラーク・マクスウェル古典電磁気学では、粒子(荷電粒子)が場(電磁場)を生み、場が粒子に力を与える。これは、場の理論の最初の定式化である。

原型[編集]

1927年から1928年、ポール・ディラックによる古典電磁気学の量子化、オスカル・クラインパスクアル・ヨルダンユージン・ウィグナーおよびウラジミール・フォックによる生成消滅演算子が形成され、場の量子論の原型をヴェルナー・ハイゼンベルクヴォルフガング・パウリが創った。これは後に、ディラック方程式と同等であることが判明する。

ハイゼンベルグは、場において粒子が力を伝えるという見解を打ち出した。これが湯川の強い力(中間子)、フェルミの弱い力(電子)の元となる。しかし、湯川の強い力にハイゼンベルグ・ボーアは否定的であり、確立されていなかった。

相対論的共変・繰り込み[編集]

ハイゼンベルクおよびパウリらが作った原型は相対論を満たすが、相対論的共変形式を満たさなかった。1943年、朝永振一郎超多時間理論でこれを解決する。これは1932年にポール・ディラックが提唱した多時間理論(相互作用をしている電子一つ一つに独立な時間を与える)の電子の生成・消滅を含まないという欠点を改めたものである。また、リチャード・ファインマン経路積分を完成し、またジュリアン・シュウィンガーもこの問題を独立して解決する。後に経路積分の方が一般的に使われるようになる。

ゲージ理論[編集]

ゲージ理論の概念は、1918年にヘルマン・ワイルが創造した。ワイルは時空点ごとに「ゲージ」(ものさし)を与え、時空点が変わっても、理論が変わらないようゲージを決める(ゲージは一種の自由度で、理論不変なようにゲージ自由度を与える)ことを要求し、電磁場の導出を試みたが、実験と合わなかった。1927年、フリッツ・ロンドンは、長さを位相に変え、ゲージ理論の有効性を証明した。

1954年、楊振寧およびロバート・ミルズはゲージ対称性を非アーベル群に拡張した理論を定式化した(非可換ゲージ理論)。(ヴォルフガンク・パウリ内山龍雄も独立して同様の理論を発見している。発表が遅れたため、パウリや内山らは非可換ゲージ理論の発見者と見なされない。)内山龍雄重力場を含む形に拡張した(このため、ヤン=ミルズ=内山理論と呼ぶ人もいる)。この非可換ゲージ理論は、後に量子色力学ワインバーグ=サラム理論を定式化する際に用いられた。

クォーク模型[編集]

1964年、マレー・ゲルマンユヴァル・ネーマンおよびジョージ・ツワイクにより独立にクォーク模型が見出された。この原型は坂田昌一による坂田模型と、そのフレーバー変換を群論形式で記述する方法を確立した大貫義郎らによるIOO理論SU(3)である。(これはクォーク模型の原型における対称性を群論で記述した最初の事例であり、素粒子論の核で群論を使う以後の流れを決定づける。

量子力学での群論の最初は、ヘルマン・ワイル1927年である。原子スペクトルの対称性を記述[2]。また、1939年、ユージン・ウィグナー原子核をSU(4) で記述する[3]。しかし素粒子論の核での使用でなかった。これらは、素粒子の基本構造に迫るものではなく、素粒子研究で注目を浴びなかった。

IOO対称性は、素粒子の基本構造を始めて確立した。その後、クォークの基礎となる8道説や1/3電荷は、日本でも提案されたが、本格的に取り組まれないまま、ゲルマンなどのクォーク模型がでる。クォークに対応するグルーオン(力を伝える粒子)が担う場は、ゲージ理論によってゲージ場として記述される。

自発的対称性の破れ[編集]

ゲージ理論では、ゲージ対称性を満たす場合、必然的にゲージ場の質量がゼロになる。しかし、光子を除く現実の粒子は質量を持ち、質量が力の及ぶ範囲を決める。1964年、これを救ったのが、ピーター・ヒッグスらのヒッグス機構で、南部陽一郎自発的対称性の破れを使い解決した。電弱統一理論で、高温状態で電磁力と弱い力が区別できなくなることを示す。

自発的対称性の破れの概念は、ハイゼンベルグが強磁性体モデルにおけるスピンのSU(2)回転対称性について論じたのが始まりとされる。1960年に南部は、超伝導BCS理論をヒントに対称性の自発的破れの概念を場の量子論において定式化した。[4][5]

量子色力学・ワインバーグサラム理論[編集]

量子電磁力学 (QED) は可換ゲージ理論である。一方、量子色力学 (OCD) およびワインバーグ=サラム理論は非可換ゲージ理論である。量子色力学は3つの場のからみ合いであり、ゲージも3×3の行列となり、QEDの可換ゲージから、非可換ゲージにかわる。

弱い力と電磁相互作用は、1967年、場の量子論の枠組みで非可換ゲージ形式のワインバーグ=サラム理論により統一される。

強い力は、クォーク模型の完成後、1971年にヘーラルト・トホーフトの非可換ゲージの繰り込み可能性の証明を経て、1973年に繰り込み群を使ったデイビッド・グロスらによって場の量子論の枠組みで非可換ゲージ形式の量子色力学 (QCD) が完成する。

場の量子化[編集]

量子力学と生成消滅演算子[編集]

量子力学での生成消滅演算子について。

(電磁場はA(x,t)すなわち、空間と時間を引数とする場の量として表される。)
前提
ハミルトニアン
粒子の運動は粒子エネルギーを表すハミルトニアン H=T+Vをつかい、例えばシュレディンガー方程式で表される。
H=T+V    H;ハミルトニアン(粒子のエネルギー)、T;運動エネルギー、V;ポテンシャルエネルギー
調和振動子
ハミルトニアンは、バネに例えられる調和振動子の和として表せる。(調和振動子だけでなくいろいろな形式がある。)
生成消滅演算子  調和振動子の生成消滅演算子の項を参照
系のエネルギーH=T+Vを、虚数を使い因数分解すると生成消滅演算子が出来る。(いろいろな作り方があり、いろいろな形式がある。)
生成消滅演算子は、粒子を真空から励起させたり、消滅させたりする演算子となる。
これらを使い、場の形式になった粒子を再び場の形式に落としこめる。
量子力学
物質を場(状態-確率場)で表す。
物質粒子(電子)のハミルトニアンをψ(x,t)という場の量で記述する。この場の量は調和振動子であらわせる。
ψが従う調和振動子は、空間の微細分割個所に、バネが存在し、振動が互いに影響を及ぼしあうイメージでよい。
以上で、粒子を場で表した。
場で表した物質を粒子に戻す。
場の量ψから「粒子」の性質を導き出せる。
生成消滅演算子に変換し、状態(確率場)に作用させると、粒子がn個、励起される。これで、粒子の持つ個数の性質が出てくる。
これを第二量子化という。「励起状態」は、複数の電子の運動を表す。粒子を場にし、場を粒子に戻すという意味。場の量子化は、次。

場の量子論[編集]

場に対し、量子力学と同様の方法で、場を作用素とみなし、量子化を実行し、生成消滅演算子を作用させると粒子性がでてくる。

量子力学では運動量などの物理量を演算子で置き換える量子化を行う。同様に電磁気学の電磁場を演算子に置き換えることを場の量子化という。つまり場の量子化で量子化されるのは「波動関数」ではなく「物理量としての場」である。(場の量子論での定義)

したがって、多体量子系を生成・消滅演算子で記述する理論である第二量子化とは異なる。ただ、歴史的な事情で場の量子化を第二量子化と呼ぶこともある。(量子力学と生成消滅演算子での定義)

物質粒子も電磁場も、空間の到る所に存在する「場」で表される。

真空には、Aやψのような場の量が存在し、場の量は僅かに振動している。完全な「虚空」は存在しない。
場の量子論は、物質と力の二元論を否定し、物質粒子も電磁場も同じ形式の場の量で表す。さらに場は粒子の形をし、粒子は場の形をし、粒子は場の力を伝える媒体となる。(ただし、粒子と場の力を伝える粒子は異なる。)
場の量子論は、粒子を場+粒子とするが、力を伝える場(電磁場)も同様に場+粒子とし、場も粒子も同一形式で扱う基礎理論である。

理論とラグランジアンの例[編集]

以下では簡単な例について、理論の出発点となるラグランジアン(厳密にはラグランジアン密度であるが、どちらかは文脈上ほぼ明らかなので、曖昧に使われることが多い)を挙げる。ラグランジアンは基本的には、運動項とポテンシャル項の差として書かれる。

\mathcal{L}(\phi(x),\partial\phi(x))
 =(\text{Kinetic term}) -(\text{Potential term})

局所性や対称性などの幾つかの要請を課すことによってラグランジアンの形は制限される。

ラグランジアン L とラグランジアン密度 \mathcal{L} の関係は3次元空間(+時間1次元)の場合、

L=\int \!\! d^3x\, \mathcal{L}(\phi,\partial\phi)

である。

シュレディンガー場のラグランジアン[編集]

非相対論的理論(物性理論等)で用いられるシュレディンガー場(ド・ブロイ場) ψ(x) のラグランジアンは

\mathcal{L}(\psi,\nabla\psi, \frac{\partial \psi}{\partial t})
 =i \hbar \psi^{\dagger} \frac{\partial \psi}{\partial t}
 -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi^{\dagger}\cdot \nabla\psi
 -V(x, t)\psi^{\dagger}\psi

の形となる。

スカラー場のラグランジアン[編集]

スカラー場 φ(x) のラグランジアンは

\mathcal{L}(\phi,\partial\phi)
 =\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi -V(\phi)

の形となる。ここで計量は g = diag(+,-,-,-) であり、従って、

\mathcal{L}_\mathrm{Kin}
 =\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi
 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2

である。(素粒子分野では多くの場合この計量が使われるが、まれに g = diag(-,+,+,+) を使う場合は \mathcal{L}_\mathrm{Kin}=-\tfrac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi として時間微分の項を正に選ぶ。)

ポテンシャル項 V(φ) を φ の冪級数で展開すれば

V(\phi)=\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{g_3}{3!}\phi^3
 +\frac{g_4}{4!}\phi^4+\ldots

となる(1次の項は φ の再定義により常に消去できる。0次の項は論理を進める上で関与しない。)。2次の係数 m はスカラー場 φ の質量と解釈でき、この項は質量項(mass term)と呼ばれる。ポテンシャル V が質量項しか持たないとき、φ を自由場(自由スカラー場)と呼ぶ。

\mathcal{L}_\mathrm{free}
 =\frac{1}{2}\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi
 -\frac{m^2}{2}\phi^2

ポテンシャル V の3次以降は相互作用項(interaction term)と呼ばれる。 例えば、相互作用項に \tfrac{g_3}{3!}\phi^3 が含まれていれば、φ 3つが結合定数 g3 で相互作用することを表し、2つの φ が衝突して1つの φ となったり、逆に1つの φ が2つの φ になったりし得る、と言う解釈ができる。

くりこみ可能性を課せば、4次元時空では φ の4次の項までしか現れない。更に、φ→-φの対称性を課せば、奇数次の項は現れず、結局ラグランジアンは

\mathcal{L}
 =\frac{1}{2}\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi
 -\frac{m^2}{2}\phi^2
 -\frac{\lambda}{4!}\phi^4

となる。相互作用項は φ の4次の項だけとなり、これは φ4 (ファイフォー)理論と呼ばれる。

複素スカラー場の場合は、

\mathcal{L}
 =(\partial_\mu\phi)^\dagger \partial^\mu\phi
 -m^2\phi^\dagger \phi
 -\frac{\lambda}{2}(\phi^\dagger \phi)^2

の形となる。複素共役 φ は φ の反粒子となる。

スピノル場のラグランジアン[編集]

ワイルスピノル場 ψ(x) の運動項は

\mathcal{L}_\mathrm{Kin}
 =i\bar{\psi}\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\psi

(σ は4次元のパウリ行列)である。 もう1つのワイル場 χ が存在し、ディラックスピノル

\psi_D=
\begin{pmatrix}
\psi \\ \bar{\chi} \\
\end{pmatrix}

となる場合の運動項は

\mathcal{L}_\mathrm{Kin}
 =i\overline{\psi_D}\gamma^\mu\partial_\mu\psi_D
 =i\bar{\psi}\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\psi
 +i\chi\sigma^\mu\partial_\mu\bar{\chi}

(γ は4次元のガンマ行列)で、2つのワイル場の和の形に分離される。

くりこみ可能性を課せば、4次元時空ではスピノル場の2次の項しか現れず、ワイル場のポテンシャル項は

V(\psi)= m_M(\psi\psi+\bar{\psi}\bar{\psi})

となる。この mMマヨラナ質量と呼ばれる。 ディラック場のポテンシャル項は

V(\psi_D) = m_D\overline{\psi_D}\psi_D
 =m_D (\chi\psi+\bar{\psi}\bar{\chi})

とすることができる。この mDディラック質量と呼ばれる。

マヨラナ質量項がある場合は自分自身が反粒子となり、フェルミオン数が保存しない。 一方、ディラック質量項の場合はフェルミオン数が保存する。\psi_D,\bar{\psi}_D(或いはψとχ)は互いに反粒子の関係にある。また、ディラック質量項を持つ場合には2つのワイル場は和の形に分離されない。 単に質量と言うと多くの場合はディラック質量を指す。

スカラー場 φ とディラック場 ψD が存在する場合、くりこみ可能性を課すと、

-\mathcal{L}_\text{Yukawa}
 = y \overline{\psi}_D\psi_D\phi
 = y(\chi\psi\phi+\overline{\psi}\overline{\chi}\phi)

の形の相互作用項を作ることが出来る。 この形の相互作用項を湯川相互作用項と呼び、y は湯川結合定数と呼ばれる。

関連記事[編集]

脚注[編集]

  1. ^ 清水明 『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』 サイエンス社2004年ISBN 4-7819-1062-9
  2. ^ Wigner Biography
  3. ^ Ann. of Math. (2) 40 (1939), 149-204
  4. ^ 南部理論と物性物理学
  5. ^ Symmetry and Symmetry Breaking