統計力学

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統計力学（とうけいりきがく、statistical mechanics）とは、系の微視的な物理法則を基に、巨視的な性質を導き出すための学問であり、統計物理学、統計熱力学とも呼ばれる。歴史的には系の熱力学的な性質を原子論の立場から演繹することを目的としてボルツマン、マクスウェルらによって始められた。系のアンサンブルに応じてミクロカノニカルアンサンブル（小正準分布）、カノニカルアンサンブル（正準分布）、グランドカノニカルアンサンブル（大正準分布）等がある。

[編集] 解説

$N(\gg 1)$ 個の粒子から成る古典的な系での任意の物理量 $A$ の時間平均値は

$\bar{A}=\lim_{T\rightarrow{}\infty}\frac{1}{T}\int_0^T A(\{p_i\},\{q_i\})dt$

と与えられる。 $\{p_i\}_{i=1,\dots,3N},\{q_i\}_{i=1,\dots,3N}$ は系の微視的状態を指定する正準変数である。系が熱平衡状態に達するならばこの値は収束する。この $\bar{A}$ が熱力学に現れる巨視的な物理量 $A$ である。系の微視的状態の（任意の）分布 $ρ({p i},{q i}, t)$ はリウヴィルの定理により時間に関して不変である。

$\frac{d\rho}{dt}=0$

このことから、時間tに依存しない平衡状態において、 ${p i},{q i}$ で指定される微視的状態がある確率 $d P$ をもつ確率集団(アンサンブル)を考えると物理量 $A$ の平均値は

$\left\langle A \right\rangle=\int{}A(\{p_i\},\{q_i\})dP=\frac{\int{}A(\{p_i\},\{q_i\}) \rho{}(\{p_i\},\{q_i\})d\Gamma} {\int{}\rho{}(\{p_i\},\{q_i\})d\Gamma}$

で与えられる。この集団平均 $\langle{}A\rangle$ と時間平均 $\bar{A}$ が等しいと仮定することが統計力学の原理であり、これをエルゴード仮説とよぶ。ただし、エルゴード仮説は統計力学の基礎付けとは無関係という主張も専門家によってなされている（田崎晴明氏による解説および大野克嗣氏による解説（Statistical Mechanics, Japanese versionというpdf））。