ディラック方程式

場の量子論

(ファインマン・ダイアグラム)

歴史

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ディラック方程式（ディラックほうていしき）はフェルミ粒子に対する相対論的量子力学の基礎方程式である。

歴史

ポール・ディラックは1928年にディラック方程式を基礎方程式とする（特殊）相対論的量子力学を見出したが、負のエネルギーの状態が現れるという問題があった。1930年に負のエネルギーの状態すべてがディラック粒子で満たされているとするディラックの海の概念によりその問題を解決した。ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、反粒子に対応する。

しかし、後の物理学者により、ディラックの海の概念（空孔理論）の拡張、解釈の見直しが行われている（下にある補足も参照）。

解説

ディラック方程式は自然単位系($\hbar=1,c=1$)では

• $(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi(x)=0$

と表される。ψ は4成分スピノル(ディラックスピノル)である。

$\psi(x) = \begin{pmatrix} \psi_1(x)\\ \psi_2(x)\\ \psi_3(x)\\ \psi_4(x)\\ \end{pmatrix}$

m は ψ の質量である。 μ についてはアインシュタインの和の規約を用いる。

ガンマ行列 (ディラック行列) $\gamma^\mu$ (μ=0,1,2,3)は4×4行列で、

$\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} \equiv \gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu = 2 \eta^{\mu\nu}$

を満たす。 $\eta_{\mu\nu}= \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$はミンコフスキー空間の計量テンソルである。

ガンマ行列の有用な表示として

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} \widehat{\mathbf{0}} & \widehat{\boldsymbol{I}} \\ \widehat{\boldsymbol{I}} & \widehat{\mathbf{0}} \\ \end{pmatrix} \qquad \gamma^j = \begin{pmatrix} \widehat{\mathbf{0}} & \widehat{\boldsymbol{\sigma}}^j \\ -\widehat{\boldsymbol{\sigma}}^j & \widehat{\mathbf{0}} \\ \end{pmatrix}$

がある。これをワイル表示という。ここで、$\widehat{\boldsymbol{I}}, \widehat{\mathbf{0}}$はそれぞれ2×2の単位行列及び零行列であり、$\widehat{\boldsymbol{\sigma}}^j$ (j =1,2,3)はパウリ行列である。 4成分のパウリ行列を$\sigma^\mu=(\widehat{\boldsymbol{I}},\widehat{\boldsymbol{\sigma}}^j),\bar{\sigma}^\mu=(\widehat{\boldsymbol{I}},-\widehat{\boldsymbol{\sigma}}^j)$とすれば、

$\gamma^\mu = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & \sigma^\mu \\ \bar{\sigma}^\mu & \mathbf{0} \\ \end{pmatrix}$

と書ける。

微分$\partial_\mu$ (μ=0,1,2,3) は

$\partial_\mu \equiv \frac{\partial}{\partial x^\mu}$

と定義される。ただし、x⁰=t, x¹=x, x²=y, x³=zである。

ディラック方程式はディラックのハミルトニアン

$H=-i\vec{\alpha}\cdot\nabla+\beta{}m$

(ただし、$\alpha^j = \gamma^0\gamma^j, \beta=\gamma^0$)をもちいて、

$i\frac{\partial\psi}{\partial{}t}=H\psi$

と表すこともできる。

（補足）

非相対論的なシュレーディンガー方程式を、相対論へ対応するための拡張として最初、クライン-ゴルドン方程式が考案されたが、これは負のエネルギー解と負の確率密度の問題が生じた（この問題は、その後登場した場の理論により回避できる）。また、この方程式にはスピンが出てこない問題もあった。

ディラック方程式は、負の確率密度は生じず、スピンの概念が自然に出てくるが、依然として負のエネルギー解の問題が残った。これを解決するためにディラックは先にあるように空孔理論(Hole theory)を考案した。ディラックは当初この空孔による粒子を陽子と考えたが、それは後に陽電子であることが指摘された（ヘルマン・ワイル、ロベルト・オッペンハイマーによる）。

デヴィッド・アンダーソンによる陽電子の発見（1932年）により、この空孔理論は現実の現象を説明する優れた理論であったが、その後、リチャード・P・ファインマン等により拡張、解釈の見直しが図られ（相対論的な場の量子論）、真空での負エネルギーの電子の海（ディラックの海→空孔理論）を考えなくとも、電子-陽電子の問題を扱うことができるようになった（詳しくは量子電磁力学を参照）。

ディラックの着想

当初、相対論的量子力学における基礎方程式として考案されていたクライン-ゴルドン方程式

$- \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi(x) =(-\nabla^2+ m^2) \psi(x)$

は、時間について2階の微分方程式であることから、負の確率密度が生じ、確率解釈が困難となる問題を抱えていた。これを時間について1階の微分方程式

$i \frac{\partial}{\partial t} \psi(x) = \biggl ( \frac{1}{i} \mathbf{\alpha} \cdot \nabla + \beta m \biggr ) \psi(x)$

に帰着させるべく、ディラックは空間成分についての2階微分を1階微分に分解した関係式

$\biggl ( \frac{1}{i} \mathbf{\alpha} \cdot \nabla + \beta m \biggr )^2= (-\nabla^2+ m^2)$

を満たすように４つの行列α=(α₁, α₂, α₃)、βを与えることを考えた。このとき、α_i(i=1,2,3)、βに要求される代数関係は

• $\{ \alpha_i, \alpha_j \}=0 \quad (i \neq j)$
• $\{ \alpha_i, \beta \}=0 \,$
• $\alpha_i^{\, 2} = \beta^2 =I \,$

となるが、こうした性質を満たす行列の組は、ガンマ行列によって

$\alpha^i = \gamma^0 \gamma^i, \, \beta=\gamma^0$

と定義することで得られ、ディラック方程式が導かれる。

カイラリティー

$\gamma_5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$

で定義される行列 γ₅ は

$(\gamma_5)^\dagger=\gamma_5 \quad (\gamma_5)^2=1 \quad \{\gamma_5,\gamma^\mu\}=0$

の性質を持つ。 γ₅は固有値 ±1 をもち、カイラリティーと呼ばれる。

ワイル表示では

$\gamma_5 = \begin{pmatrix} -\mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \end{pmatrix}$

となり、ディラックスピノルの上2成分がカイラリティー -1、下2成分がカイラリティー +1 となる。 つまり、ワイル表示で

$\psi_L = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} ,\qquad \psi_R = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \psi_3 \\ \psi_4 \\ \end{pmatrix}$

とすると、

$\gamma_5\psi_L=-\psi_L ,\qquad \gamma_5\psi_R=+\psi_R$

となる。ψ_L、ψ_Rをそれぞれ ψ の左手型成分(左巻き成分、left-handed components; LH)、右手型成分(右巻き成分、right-handed components; RH)と呼ぶ。

ワイル表示以外では、射影演算子 L,R を

$L \equiv \frac{1-\gamma_5}{2} \quad R \equiv \frac{1+\gamma_5}{2}$

として、$\psi_L \equiv L\psi,\,\psi_R \equiv R\psi$ で定義される。

定義から明らかなように、左手型成分と右手型成分を足せば元のスピノルとなる。

$\psi_L+\psi_R=\psi$

また、ガンマ行列をかけるとカイラリティーが変わる。

$\gamma_5(\gamma^\mu\psi_L)=+\gamma^\mu\psi_L ,\quad \gamma_5(\gamma^\mu\psi_R)=-\gamma^\mu\psi_R$

ワイルスピノル

ディラックスピノルをカイラリティーで分けた2成分スピノルをワイルスピノルと言う。

ワイル表示で

$\psi(x)= \begin{pmatrix} \xi(x) \\ \bar{\eta}(x) \\ \end{pmatrix}$

ψディラックスピノル(4成分量), ξ,ηワイルスピノル(2成分量)

ディラック方程式をワイルスピノルで書けば、

$i\sigma^\mu\partial_\mu\bar{\eta}-m\xi=0$

$i\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\xi-m\bar{\eta}=0$

となる。質量がゼロのとき、

$i\frac{\partial\xi}{\partial t}=i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\xi$

$i\frac{\partial\bar{\eta}}{\partial t}=-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\bar{\eta}$

となり、これはワイル方程式と呼ばれる。

ローレンツ共変性

ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。

即ち、ローレンツ変換

$x^\mu \rightarrow x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$

$\psi_a(x) \rightarrow \psi'_a(x) = [D(\Lambda)]_a{}^b\,\psi_b(\Lambda^{-1}x)$

(μ,ν=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、

$(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi'(x)=0$

となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4×4行列 D(Λ) は

$[D(\Lambda)]_a{}^c \,[\gamma^\mu]_c{}^d \,[D(\Lambda)^{-1}]_d{}^b = (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu[\gamma^\nu]_a{}^b$

によって定まる。

ワイル表示においては行列式 1 の2×2行列 M を用いて

$D(\Lambda) = \begin{pmatrix} M & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & (M^\dagger)^{-1} \\ \end{pmatrix}$

$M \sigma^\mu M^\dagger = (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu\sigma^\nu$

と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は

$\Lambda^\mu{}_\nu = \begin{pmatrix} \cosh\beta & 0 & 0 & \sinh\beta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \sinh\beta & 0 & 0 & \cosh\beta \\ \end{pmatrix}$

$M = \begin{pmatrix} e^{-\beta/2} & 0 \\ 0 & e^{\beta/2} \\ \end{pmatrix}$

となる。

参考文献

原論文

• P.A.M. Dirac, "The Quantum Theory of the Electron", Proc. R. Soc. A (1928), vol. 117, no 778, p. 610-624 doi:10.1098/rspa.1928.0023

関連項目

• 相対性理論
• 量子力学
• 場の量子論