量子電磁力学

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量子電磁力学（りょうしでんじりきがく、Quantum electrodynamics; QED）とは、電子を始めとする荷電粒子間の電磁相互作用を量子論的に記述する場の量子論である。量子電気力学と訳される場合もある。

目次

概要 [編集]

量子電磁力学では、電子間に働く電磁相互作用を光子という粒子の受け渡しによるものと考え、電子と光子は量子的な場（場の演算子）として扱われる。荷電粒子の場は4成分のディラック場である。

電子は電荷をもっており、この電荷が時空の各点で（つまり、常に連続的に）保存することを理論に要請すると、光子を表す場が自然に定義される。この要請はゲージ変換と呼ばれる場の量の変換に対して理論が持つべき対称性（ゲージ不変性） として表され、それを保証する場（光子場）をゲージ場と呼ぶ。ゲージ場は厳密に質量が0である。光子の質量が0という事実（光速度不変の原理）は、このように、電子の電荷の保存と結びついている。

量子電磁力学のゲージ変換にまつわる理論の構造は、まず粒子場を用意し、理論にゲージ不変性を要求することによって粒子間の相互作用を導くというゲージ原理の考え方を導き、電磁相互作用以外の相互作用においても、場の理論の構築の際の基礎とされている。

量子電磁力学は特殊相対性理論と量子力学を結びつけたポール・ディラックの電子論（ディラック方程式）では説明できない水素原子の 2s と 2p 準位のずれ（ラムシフト）などを説明できる。2007年の時点で実験的に最も高い精度で検証された基礎理論である。

歴史 [編集]

1927年、ポール・ディラックは粒子の生成消滅演算子という概念を導入することで電磁場の量子化に初めて成功し[1]、これが量子電磁力学の創始となった。その後、ヴォルフガング・パウリ、ユージン・ウィグナー、 パスクアル・ヨルダン、ヴェルナー・ハイゼンベルクらの尽力により量子電磁力学の定式化が始まり、1932年のエンリコ・フェルミの論文[2]によりエレガントな定式化がほぼ完成した。

当時は光子や荷電粒子を含むような計算も原理的には可能であると思われていたが、次第に計算結果が無限大に発散することが問題となった。場の量子論における発散問題は1930年代初頭にロバート・オッペンハイマー[3]や他の多くの物理学者によって初めて認識され、フェリックス・ブロッホとArnold Nordsieckの研究[4]（1937年）やヴィクター・ワイスコップの研究[5]（1939年）では、この計算が摂動展開の1次においてのみ成功するが、高次の級数においては無限大が現れることが指摘された。有限の物理量を求めるための計算結果に無限大が現れることは物理法則としての致命的な矛盾である。

第二次世界大戦を経てマイクロ波技術の進歩により水素原子のエネルギー準位の縮退からのずれ（ラムシフト）[6]や電子の異常磁気モーメント[7]をより精密に測定することが可能になると、これらの実験により既存の理論では説明することのできない現象の存在が明らかとなった。1947年、ハンス・ベーテはシェルターアイランド会議に出席した帰りにスケネクタディからニューヨークへ向かう汽車の中で[8]、水素原子の非相対論的なエネルギー準位について矛盾の無い計算方法を初めて着想し論文[9]を提出した。ベーテの計算では、質量と電荷に無限大の補正を加えることで、無限大がうまく相殺し最終的に有限の物理量が導出される。このようにして無限大の発散を回避する操作が繰り込みである。

ベーテの論文を基にして、朝永振一郎[10]、ジュリアン・シュウィンガー[11][12]、リチャード・ファインマン[13][14][15]、フリーマン・ダイソン[16][17]らが摂動展開の全てのオーダーにおいて観測される物理量が有限となるような定式化を完成させた。これらの業績により朝永、シュウィンガー、ファインマンの3人は1965年にノーベル物理学賞を受賞した。ファインマンによるファインマン・ダイアグラムを用いた数学的なテクニックは朝永、シュウィンガーの演算子を用いる計算方法とはかなり異なるように見えたが、後にダイソンはこの二つのアプローチが数学的に等価であることを証明した。繰り込みは場の量子論における基本的な概念の一つであり、理論の妥当性を保証するために必要不可欠な操作である。繰り込みの導入によって物理的な矛盾は解消できたが、ファインマン自身はその数学的な妥当性については最後まで満足せずに、"shell game"（「いんちき」）、"hocus pocus"（「奇術」）のようだと自著で述べている[18]。

量子電磁力学はその後に発展する場の量子論に関する数々の理論の基礎的なモデルとして採用されている。1964年にFrançois Englert、ロバート・ブラウト[19]、ジェラルド・グラルニク、C. R. ハーゲン、トム・キブル[20][21]、ピーター・ヒッグスによってヒッグス機構が考案された。さらに、1961年にシェルドン・グラショウが電弱統一理論の基礎を構築し、これらの理論と自発的対称性の破れ、南部‐ゴールドストーンの定理などを組み合わせることで1967年、スティーヴン・ワインバーグとアブドゥス・サラムがそれぞれ独立の研究で電磁相互作用と弱い相互作用を一つの相互作用へと統一することに成功し、電弱統一理論が初めて完成した。一方、強い相互作用を記述する量子色力学は、1971年のヘーラルト・トホーフトによる非可換ゲージ場のくり込み可能性の証明や1973年のH. デビッド・ポリツァー、デイビッド・グロス、 フランク・ウィルチェック による漸近的自由性の研究によって強い相互作用の基礎理論としての地位を固めた。

定式化 [編集]

数学的には、量子電磁力学（以下、QEDと表記）はU(1)対称性を持つ可換ゲージ理論である。電荷を持つディラック場同士の相互作用を媒介するゲージ場は電磁場である。

電磁場と相互作用するディラック場についてのQEDラグランジアン密度は以下のように表記される。

\begin{align} \mathcal{L}_\mathrm{QED} & = \bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \\ & = \bar\psi(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi - e\bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu \psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \end{align}

ここで、

\gamma^\mu \,\!はガンマ行列
\ \psiはディラック場（ディラックスピノル）
\bar\psi\equiv\psi^\dagger\gamma_0はディラック場の随伴スピノル
D_\mu = \partial_\mu+ieA_\mu \,\!は共変微分（第2項の符号はゲージ変換の定義による）
\ e は電磁場の結合定数（素電荷と等価）
\ A_\mu は電磁ポテンシャル
F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!は電磁場テンソル

である。

運動方程式 [編集]

上記のラグランジアン密度をディラック場\psiについてのオイラー・ラグランジュ方程式

\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0 \,

へ代入すると、ディラック場についての運動方程式が得られる。2つの項はそれぞれ

\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) = \partial_\mu \left( i \bar{\psi} \gamma^\mu \right)
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = -e\bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu - m \bar{\psi}

と計算できるので、結局

i \partial_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu + e\bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu + m \bar{\psi} = 0

となる。 この式の複素共役をとると

i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - e \gamma^\mu A_\mu \psi - m \psi = 0

となる。第2項を右辺へ移行して

i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = e \gamma^\mu A_\mu \psi

とすれば、左辺が通常のディラック方程式、右辺がディラック場と電磁場との相互作用項となる。

もう1つの運動方程式を得るために、今度はラグランジアン密度を電磁場A_\muについてのオイラー・ラグランジュ方程式

\partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = 0

へ代入する。このとき、2つの項はぞれぞれ

\partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) = \partial_\nu \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right)
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = -e\bar{\psi} \gamma^\mu \psi

と計算できるので、結局、次の関係式が得られる。

\partial_\nu F^{\nu \mu} = e \bar{\psi} \gamma^\mu \psi

この式は、4元電流密度を

J^\mu = e \bar{\psi} \gamma^\mu \psi

とすれば分かるように、マクスウェル方程式そのものである。

関連項目 [編集]

出典 [編集]

  1. ^ P.A.M. Dirac (1927). “The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation”. Proceedings of the Royal Society of London A 114: 243–265. doi:10.1098/rspa.1927.0039. 
  2. ^ E. Fermi (1932). “Quantum Theory of Radiation”. Reviews of Modern Physics 4: 87–132. doi:10.1103/RevModPhys.4.87. 
  3. ^ R. Oppenheimer (1930). “Note on the Theory of the Interaction of Field and Matter”. Physical Review 35: 461–477. doi:10.1103/PhysRev.35.461. 
  4. ^ F. Bloch, A. Nordsieck (1937). “Note on the Radiation Field of the Electron”. Physical Review 52: 54–59. doi:10.1103/PhysRev.52.54. 
  5. ^ V. F. Weisskopf (1939). “On the Self-Energy and the Electromagnetic Field of the Electron”. Physical Review 56: 72–85. doi:10.1103/PhysRev.56.72. 
  6. ^ W. E. Lamb, R. C. Retherford (1947). “Fine Structure of the Hydrogen Atom by a Microwave Method,”. Physical Review 72: 241–243. doi:10.1103/PhysRev.72.241. 
  7. ^ P. Kusch, H. M. Foley (1948). “On the Intrinsic Momement of the Electron,”. Physical Review 73: 412. doi:10.1103/PhysRev.74.250. 
  8. ^ Schweber, Silvan (1994). “Chapter 5”. QED and the Men Who Did it: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton University Press. p. 230. ISBN 978-0691033273. 
  9. ^ H. Bethe (1947). “The Electromagnetic Shift of Energy Levels”. Physical Review 72: 339–341. doi:10.1103/PhysRev.72.339. 
  10. ^ S. Tomonaga (1946). “On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields”. Progress of Theoretical Physics 1: 27–42. doi:10.1143/PTP.1.27. 
  11. ^ J. Schwinger (1948). “On Quantum-Electrodynamics and the Magnetic Moment of the Electron”. Physical Review 73: 416–417. doi:10.1103/PhysRev.73.416. 
  12. ^ J. Schwinger (1948). “Quantum Electrodynamics. I. A Covariant Formulation”. Physical Review 74: 1439–1461. doi:10.1103/PhysRev.74.1439. 
  13. ^ R. P. Feynman (1949). “Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics”. Physical Review 76: 769–789. doi:10.1103/PhysRev.76.769. 
  14. ^ R. P. Feynman (1949). “The Theory of Positrons”. Physical Review 76: 749–759. doi:10.1103/PhysRev.76.749. 
  15. ^ R. P. Feynman (1950). “Mathematical Formulation of the Quantum Theory of Electromagnetic Interaction”. Physical Review 80: 440–457. doi:10.1103/PhysRev.80.440. 
  16. ^ F. Dyson (1949). “The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman”. Physical Review 75: 486–502. doi:10.1103/PhysRev.75.486. 
  17. ^ F. Dyson (1949). “The S Matrix in Quantum Electrodynamics”. Physical Review 75: 1736–1755. doi:10.1103/PhysRev.75.1736. 
  18. ^ Feynman, Richard (1985). QED: The Strange Theory of Light and Matter. Princeton University Press. p. 128. ISBN 978-0691125756. 
  19. ^ Englert, François; Brout, Robert (1964). “Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons”. Physical Review Letters 13: 321–23. doi:10.1103/PhysRevLett.13.321 
  20. ^ G.S. Guralnik, C.R. Hagen, T.W.B. Kibble (1964). “Global Conservation Laws and Massless Particles”. Physical Review Letters 13: 585–587. doi:10.1103/PhysRevLett.13.585. 
  21. ^ G.S. Guralnik (2009). “The History of the Guralnik, Hagen and Kibble development of the Theory of Spontaneous Symmetry Breaking and Gauge Particles”. International Journal of Modern Physics A 24: 2601–2627. doi:10.1142/S0217751X09045431. arXiv:0907.3466. 

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