最小作用の原理

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（作用積分 から転送）

最小作用の原理（さいしょうさようのげんり）は解析力学の基礎となった最初期の力学の原理。運動は作用と呼ばれる量を最小にするような軌道にそって行われるということ。

古典力学における最大の法則であり、アインシュタイン方程式ですら、重力場のラグランジアンとこの法則を用いて導出される。この法則そのものは、ファインマンの経路積分の考え方によって理解できる。物体は運動において様々な運動経路（軌道）をとる事が可能であるが、作用が極値（鞍点値）をとる…すなわち最小作用の原理を満たす…経路が最も量子力学的な確率密度が高くなる事が知られている。

目次

[編集] モーペルテュイの原理(Maupertuis' principle)

モーペルテュイの最小作用の原理とも言う。1747年、モーペルテュイ(P. L. M. Maupertuis)によって考え出された。一個の質点からなる系において、その質点が運動する経路を l とすると、

\delta \int 2K dt = \delta \int mv^2 dt = \delta \int mv {dl \over {dt}} dt = \delta \int mv dl = 0

が成り立つ。この時、Kは運動エネルギー、dlは質点の運動する経路の微小片の長さ、dl / dt = vは質点の速度、mは質点の質量である。つまり、上式の最右辺の式=0より、質点の運動量mvと微小片dlの積の積分に関する停留値問題に帰着する。これが、モーペルテュイの原理である。

上式の最右辺の式は、系の全エネルギーをE、位置エネルギーをVとすると、

K + V = {1 \over 2} m v^2 + V = E

から、

\delta \int \sqrt{2m (E - V)} dl = 0

と換言することができる。

この原理は、フェルマーの原理、

\delta \int n (x, y, z) dl = 0

と対比される。ここで、nは屈折率、 l は光の通る経路である。

同様にラグランジアンにおける停留値問題、

\delta \int_{t_1}^{t_2} L dt = \delta \int_{t_1}^{t_2} (K - V) dt = 0

の式で表される原理をハミルトンの原理（ハミルトンの最小作用の原理）と言う。

[編集] 作用積分

ラグランジアンの積分

I[q(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t) , \dot {q}(t) , t) dt

を作用積分またはハミルトンの積分と言う。前節のハミルトンの原理は作用積分を用いて

\delta I = 0 \,

と書くことができる。

ラグランジアンの変分は正準運動量 piを用いて

\delta L = \frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i
= \dot{p}_i \delta q_i +p_i \delta \dot{q}_i
= \frac{d}{dt} ( p_i \delta q_i )

と表されるから

\delta I = \int \delta L dt = p_i \delta q_i
\frac{\delta I}{\delta q_i} = p_i

となる。また、

L = \frac{dI}{dt} = \frac{\partial I}{\partial t} + \frac{\delta I}{\delta q_i} \frac{d q_i}{dt}

であるから、作用積分の時間による偏微分は

\frac{\partial I}{\partial t} = L - p_i \dot{q}_i = -H

となる。( H はハミルトニアン)

[編集] 計算上の注意点

偏微分を計算する際に、違う経路を算出する場合がある。例えば、東京－大阪間を地表に沿って移動する計算をすると、名古屋付近を経由する最短経路でなく、対蹠点を通る解が出てしまう場合がある。

[編集] 関連記事

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