オイラー＝ラグランジュ方程式

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オイラー＝ラグランジュ方程式（オイラー＝ラグランジュほうていしき、英: Euler–Lagrange equation）は汎関数の停留値を与える関数を求める微分方程式である。 オイラーとラグランジュにより1750年代に発展された。 単に、オイラー方程式、ラグランジュ方程式とも呼ばれる。

ニュートン力学における運動方程式をより数学的に洗練された方法で定式化しなおしたもので、物理学上重要な微分方程式である。 オイラー＝ラグランジュ方程式を基礎方程式としたニュートン力学の定式化をラグランジュ形式の解析力学と呼ぶ。

概要

オイラー＝ラグランジュ方程式は、物理学における最大の指導原理の一つである最小作用の原理から導かれる。 これは以下のような原理である： 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの 差（エネルギー保存則の場合は両者の和）をラグランジアンと呼び、 ラグランジアンの時間積分を作用と呼ぶとき、 物理現象は作用を最小化（厳密には極小化）するように動作する。 オイラー＝ラグランジュ方程式は、最小作用の原理を満たす物体の軌跡を変分法で求める事によって導出された方程式である。

最小作用の原理はもともとはニュートン力学（さらにさかのぼれば光学におけるフェルマーの原理）で発見されたものだが、 電磁気学、相対性理論等でも成り立つ物理学の根本的な原理である。 したがってそれらの分野においてもオイラー＝ラグランジュに相当する方程式を立式でき、 その方程式はこれらの分野の基礎方程式（ニュートンの運動方程式、マクスウェルの方程式、アインシュタイン方程式） と等価になる。 このように最小作用の原理からオイラー＝ラグランジュ相等の式を得るという方針は、様々な基礎方程式に統一的な視点を与える事ができる。

ニュートン力学の場合ラグランジアンをルジャンドル変換する事でハミルトニアン（＝エネルギーに対応する物理量）を得る事ができ、 オイラー＝ラグランジュ方程式をハミルトニアンを使って書き直す事でハミルトンの正準方程式が得られる。 これもニュートン力学における基本的な方程式の１つである。 オイラー＝ラグランジュ方程式や正準方程式で記述したニュートン力学を解析力学という。 なお、ニュートン力学の以外の分野場合、ラグランジアンからハミルトニアン（あるいはその逆）に容易に変換可能であるとは限らない。

また新たな物理学の分野を探求する際、ラグランジアンやハミルトニアンを定義できれば、 そこからオイラー＝ラグランジュ方程式や正準方程式相等の方程式を定式化できる為、 この方程式は未知の領域において基礎方程式を導出する為の強力な道具となる。

一般化座標

ニュートンの方程式がデカルト座標を用いて運動を記述する必要があるのに対し、 オイラー＝ラグランジュ方程式は任意の座標（一般化座標）を用いる事ができる。 この点においてもオイラー＝ラグランジュ方程式の方がニュートンの方程式よりも本質的である事が伺える。

またラグランジアンから一般化運動量、一般化力という、運動量と力を一般化した概念が定式化可能で、 これらを用いると、オイラー＝ラグランジュ方程式は一般化力＝（一般化運動量の時間微分）という形にかける。 ニュートンの運動方程式は、力＝（運動量の時間微分）であるので、オイラー＝ラグランジュ方程式は ニュートンの運動方程式を一般化座標に拡張したものと捉える事もできる。

計算上の重要性

一般化座標を用いる事ができるという事実は、実際に運動を計算する際有利に働く。 例えば振り子の運動を考える場合、ニュートンの方程式ではデカルト座標を用いねばならない関係上、 縦軸方向と横軸方向の2つの変数を必要とするため式が煩雑になるが、 オイラー＝ラグランジュ方程式の場合は任意の座標系を用いる事ができるため、 振り子の角度に着目する事で、角度という１変数のみで運動を記述でき、より簡単な方程式が立てられる。 （ここでは振り子の長さは一定であると仮定している）。 もちろんニュートン方程式で立式した後極座標に変換すれば同一の式が得られるが、 オイラー＝ラグランジュ方程式の利点はこのような煩雑な変換を施す事なく角度に着目した方程式を最初から直接得られる事にある。

数学における重要性

オイラー＝ラグランジュ方程式はシンプレクティック幾何学という、解析力学を起源とする数学の分野でも用いられる。 またリーマン幾何学における測地線方程式は、曲線の長さをラグランジアンとした場合のオイラー＝ラグランジュ方程式である。 なお測地線は相対性理論では光の航路を表すので、これはフェルマーの原理の近代的な定式化になっている。

方程式の詳細

C¹ 級関数

$u: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^f; x = (x_1, \ldots, x_d) \mapsto u(x) = (u_1(x), \ldots, u_f(x))$

を考える。

$F: \mathbb{R}^f \times \mathbb{R}^{fd} \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}; (v, m, x) \mapsto F(v,m,x)$

としたとき、オイラー＝ラグランジュ方程式とは $u(x)$ に関する以下の連立偏微分方程式のことである。

$\frac{\partial F}{\partial v_i}(u(x), \partial u(x), x) -\frac{\partial}{\partial x^\mu} \left( \frac{\partial F}{\partial m_{i,\mu}}(u(x), \partial u(x), x) \right )= 0 \quad (i=1, \ldots, f)$

ここで $\partial u(x)$ は x による偏微分

$\partial u(x) = \left\{ \frac{\partial u_i}{\partial x^\mu} \right\}_{1 \le i \le f, 1 \le \mu \le d}$

を表す。

なお通常は記号を疎漏に用い、上の方程式を

$\frac{\partial F}{\partial u_i}(u(x), \partial u(x), x) -\frac{\partial}{\partial x^\mu} \left( \frac{\partial F}{\partial(\partial_\mu u_i)}(u(x), \partial u(x), x) \right )= 0$

と表記する事が多い。 この表記では F に代入される値としての $u_i, \partial_\mu u_i$ が F の変数としての $v_i, m_{i,\mu}$ と混用されている。

さらにベクトル表記により f 個の式を一括して

$\frac{\partial F}{\partial\boldsymbol{u}}(u(x), \partial u(x), x) -\nabla\cdot \left( \frac{\partial F}{\partial(\nabla\boldsymbol{u})}(u(x), \partial u(x), x) \right )= 0$

とも書き表す。

ニュートン力学との関係

ニュートン力学においては、関数 $u_i$ は一般化座標 $q_i$ であり、その変数は時間 t である。一般化座標の次元 f を系の（力学的な）自由度という。

関数 F はラグランジアン L がその役割を果たす。 オイラー＝ラグランジュ方程式は

$\frac{\partial L}{\partial q_i}(q(t), \dot{q}(t), t) -\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}(q(t), \dot{q}(t), t) \right) =0$

となる。なお、ドットは時間による微分を表す。この式を特にラグランジュの運動方程式と呼ぶこともある。

一般化運動量は

$p_i(q(t), \dot{q}(t), t) = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}(q(t), \dot{q}(t), t)$

で定義され、これを使うとラグランジュの運動方程式は

$\dot{p}_i =\frac{\partial L}{\partial q_i}(q(t), \dot{q}(t), t)$

と書き換えられる。 ニュートンの運動方程式と比較すれば右辺の

$\frac{\partial L}{\partial q_i}(q(t), \dot{q}(t), t)$

は一般化された力とみなすことが出来る。

具体例

3次元デカルト座標 $\boldsymbol{x}=(x,y,z)$ の場合を考える。 このとき時間微分 $\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{v} = (v_x, v_y, v_z)$ は速度である。 また、ポテンシャルは速度には依らないものとする。

ラグランジアン L は『運動エネルギー - ポテンシャル』の形をしており、

$L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}, t) =\frac{m}{2}(v_x^2+v_y^2+v_z^2) -V(\boldsymbol{x})$

である。

このとき、ラグランジュの運動方程式は

$m\boldsymbol{v} = -\nabla V(\boldsymbol{x})$

となり、ニュートンの運動方程式に一致する。

導出

汎関数

$I[u] = \int_\Omega F(u(x), \partial u(x), x)\, d^dx$

を考える。

オイラー＝ラグランジュ方程式は適当な境界条件の下で汎関数の停留条件 $\delta I[u] = 0$ から導かれる。

停留条件を満たす解を $u = \bar{u}(x)$ とする。 積分領域の境界 $\partial\Omega$ で 0 となる任意の関数 $\delta(x)$ を考え、$u_\epsilon(x) = \bar{u}(x) +\epsilon \delta(x)$ と書くことにする。 このとき、停留条件は $I[u_\epsilon]=I[\bar{u} +\epsilon \delta]$ を ε の関数としてみたときに

$\frac{d}{d\epsilon} I[\bar{u}+\epsilon\delta] \bigg|_{\epsilon=0} =0$

である。この微分を計算すると

$\begin{align} \frac{d}{d\epsilon} I[\bar{u}+\epsilon\delta] &= \frac{d}{d\epsilon} \int_\Omega F(\bar{u}+\epsilon\delta, \partial\bar{u}+\epsilon\partial\delta, x) \\ &= \int_\Omega \left\{ \delta_i(x) \frac{\partial F}{\partial v_i}(u_\epsilon, \partial u_\epsilon, x) +\frac{\partial\delta_i}{\partial x^\mu}(x) \frac{\partial F}{\partial m_{i,\mu}}(u_\epsilon, \partial u_\epsilon, x) \right\}\, d^dx \\ \end{align}$

となるが、被積分関数の第二項を部分積分すると、

$\begin{align} \frac{d}{d\epsilon} I[\bar{u}+\epsilon\delta] =& \left[ \delta_i(x)\frac{\partial F}{\partial m_{i,\mu}} (u_\epsilon, \partial u_\epsilon, x) \right]_{\partial_\Omega} \\ &+\int_\Omega \delta_i(x) \left\{ \frac{\partial F}{\partial v_i}(u_\epsilon, \partial u_\epsilon, x) -\frac{\partial}{\partial x^\mu} \left( \frac{\partial F}{\partial m_{i,\mu}}(u_\epsilon, \partial u_\epsilon, x) \right) \right\}\, d^dx \\ \end{align}$

となる。積分領域の境界 $\partial\Omega$ で $\delta(x)=0$ なので第一項は 0 となる。最終的に、

$\frac{d}{d\epsilon} I[\bar{u}+\epsilon\delta] \bigg|_{\epsilon=0} = \int_\Omega \delta_i(x) \left\{ \frac{\partial F}{\partial v_i} (\bar{u}, \partial\bar{u}, x) -\frac{\partial}{\partial x^\mu} \left( \frac{\partial F}{\partial m_{i,\mu}} (\bar{u}, \partial\bar{u}, x) \right) \right\}\, d^dx =0$

が得られる。 この式が任意の $\delta(x)$ について言えるには、括弧内が 0 でなければならない。 （変分学の基本補題、Fundamental lemma of culclus of variations）

従って、オイラー＝ラグランジュ方程式

$\frac{\partial F}{\partial v_i}(u, \partial u, x) -\frac{\partial}{\partial x^\mu} \left( \frac{\partial F}{\partial m_{i,\mu}}(u, \partial u, x) \right) = 0$

が導かれる。

参考文献

• R. Courant, D. Hilbert, Methoden Der Mathematischen Physik ; R. クーラン, D. ヒルベルト (著), 丸山滋弥, 斎藤利弥 (翻訳) 『数理物理学の方法 1』 東京図書　(1995)　ISBN 978-4489004872
• 寺沢寛一 『自然科学者のための数学概論』 岩波書店 (1983) ISBN 978-4000054805

関連項目

• ラグランジュ力学
• ラグランジュポイント