運動量

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運動量
momentum
量記号 p
次元 M L T−1
種類 ベクトル
SI単位 ニュートン秒 (N·s), グローバー (G)
CGS単位 ダイン秒 (dyn·s)
プランク単位 プランク運動量
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古典力学
歴史

運動量(うんどうりょう、: momentum)とは、物体運動状態をあらわす物理量で、初等的には質量速度として定義される。

解析力学に於いては、運動量は正準運動量とも呼ばれ、位置の正準共役量な量として定義される。特に、運動量は、運動の状態として速度よりも基本的な量として用いられる。ニュートンは運動量の時間的変化と力の関係を運動の第2法則として提示した[1]。日常生活においては、物体の持つ運動量は、動いている物体の止めにくさとして体感される。つまり、重くて速い物体ほど運動量が大きく、静止させるのに大きな力積が必要になる。

概要[編集]

運動量は、運動の第2法則において、その時間に対する変化の割合が力と等しい量として導入される。 つまり、運動量 pニュートンの運動方程式

\frac{d\boldsymbol{p}}{dt} =\boldsymbol{F}(t)

を満たす。力 Fベクトル量であり、運動量もまたベクトル量である。また、定義から明らかなように、運動量は時刻 t の関数として表される量である。

質点の運動量は、質点の速度に比例する。質点の運動量は、質点の速度をv とおけば、

\boldsymbol{p} =m\boldsymbol{v}

で与えられる。ここで導入された比例係数 m は慣性質量と呼ばれ質点の速度の変化し難さを表す。

時間的な変化[編集]

時刻 t0 から t1 の間に力 F を受けた物体の運動量の変化は、運動方程式から、

\Delta \boldsymbol{p} =\boldsymbol{p}(t_1)-\boldsymbol{p}(t_0)
 =\int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{F}(t)\, dt

となる。 十分に短い時間 Δt の間に作用する力による運動量の変化は

\Delta\boldsymbol{p} = \boldsymbol{F}\, \Delta t

となる。これら、運動量を変化させる量を力積と呼ぶ。力積とは力とその力が作用する時間を掛けた量である。 つまり、物体に一定の力を加えて、物体の運動量の変化を大きくするには、力が作用する時間を長くすればよい。このことは、野球でバッターが飛距離を伸ばすための打法の工夫などに利用される。[要出典]

質点系の運動[編集]

運動量は加法的な量であり、系の全運動量は部分の運動量の和で表される。

質点系の全運動量 P は、質点 i の運動量 pi=mivi=midri/dt とすれば

\boldsymbol{P}(t) =\sum_i \boldsymbol{p}_i(t)
 =\sum_i m_i\, \frac{d\boldsymbol{r}_i}{dt}
 =\frac{d}{dt} \left( \sum_i m_i\, \boldsymbol{r}_i(t) \right)

となる。 ここで質点系の全質量 M と質量中心 rg

M =\sum_i m_i,~
\boldsymbol{r}_g(t) =\frac{1}{M} \sum_i m_i\, \boldsymbol{r}_i(t)

により導入すれば

\boldsymbol{P}(t) =M\frac{d\boldsymbol{r}_g}{dt}

となる。 即ち、質点系の全運動量は、質量中心に全質量が集中していると考えたときの運動量に等しい。

質点 i の運動量 pi の時間変化は、質点 i に作用する力 Fi に等しく

\frac{d\boldsymbol{p}_i}{dt}
 =\boldsymbol{F}_i

を満たす。 ここで質点 i に作用する力は、質点系の外部から作用する外力と、系に含まれる他の質点との内部相互作用に分けられる。 質点 i に作用する外力を fi、質点 j から質点 i に作用する内力を fij とすれば

\boldsymbol{F}_i =\boldsymbol{f}_i +\sum_j \boldsymbol{f}_{ij}

と表される。 ただし、質点 i から質点 i 自身に作用する力は fii=0 とする。 全運動量の時間変化を考えると

\frac{d\boldsymbol{P}}{dt} =\sum_i \frac{d\boldsymbol{p}_i}{dt}
 =\sum_i \boldsymbol{f}_i +\sum_{i,j} \boldsymbol{f}_{ij}

となる。 ここで運動の第3法則から、質点 j から質点 i に作用する力 fij と 質点 i から質点 j に作用する力 fji は大きさが等しく符号が逆なので

\boldsymbol{f}_{ij} =-\boldsymbol{f}_{ji},~
\boldsymbol{f}_{ij} +\boldsymbol{f}_{ji} =0

が成り立ち、内力を全て足し合わせたものは0となる。 従って

\frac{d\boldsymbol{P}}{dt}
 =M\frac{d^2\boldsymbol{r}_g}{dt^2}
 =\sum_i \boldsymbol{f}_i

となり、質点系の全運動量の時間変化は作用する外力の総和と等しい。 これは、重力などの単純な外力の下では質量中心の運動が相対位置の運動から分離できることを意味している。

保存則[編集]

質点系の運動において、特に作用する外力が釣り合っている場合は

\frac{d\boldsymbol{P}}{dt} =\frac{d}{dt} \left(
 \sum_i\boldsymbol{p}_i(t) \right) =0

\boldsymbol{P}(t) =\sum_i\boldsymbol{p}_i(t) =\text{const.}

が成り立つ。 つまり、この系では系の全運動量は時間的に変化しない。 これは運動量保存の法則と呼ばれる.

モーメント[編集]

運動量のモーメントは、角運動量と呼ばれ、次で定義される。

\boldsymbol{L} \equiv \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}

角運動量は、ニュートンの運動方程式と同様な方程式、

\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{N}

を満たす。ここで \boldsymbol{N} \equiv \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} は物体に作用する力のモーメントである。

解析力学における運動量[編集]

解析力学において、一般化座標 q_i に対応する一般化運動量 p_i は以下で定義される。

p_i \equiv \frac{\part L(q,\dot{q})}{\part\dot{q}_i}

ここで、L(q,\dot{q})ラグランジアンであり、運動エネルギー Kポテンシャル U とすると、

L=K-U

である。 三次元デカルト座標 \boldsymbol{x} = (x,y,z) においては、ポテンシャルが速度(位置の微分)に依存しないときには

L(\boldsymbol{x}, \dot{\boldsymbol{x}})
 = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)
 -U(\boldsymbol{x})

p_x = \frac{\part L}{\part\dot{x}} = m\dot{x}

p_y = m\dot{y},~
p_z = m\dot{z}

であり、質量と速度の積となっている。

一般化座標として二次元極座標 \boldsymbol{x} = (r,\theta) を選ぶと、ラグランジアン及び r, \theta に共役な運動量はそれぞれ

L(r,\theta,\dot{r},\dot{\theta})
 = \frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)
 -U(\boldsymbol{x})

p_r = \frac{\part L}{\part\dot{r}} = m\dot{r}

p_\theta = \frac{\part L}{\part\dot{\theta}} = mr^2\dot{\theta}

となる。ここで、r に共役な運動量は質量と速度の積の普通の運動量であるが、\theta に共役な運動量は角運動量となっている。

ポテンシャルが速度に依存するときもある。例えば電磁場が存在し、物体と相互作用がある場合である。 ラグランジアンは具体的に

L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})
 = \frac{m}{2}\boldsymbol{v}^2 - e\phi(\boldsymbol{x})
 + e\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})

である。ここで e は物体の持つ電荷\phiスカラーポテンシャル\boldsymbol{A}ベクトルポテンシャルである。このとき、共役運動量は

\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v} + e\boldsymbol{A}

となる。 このときの共役運動量は質量と速度の積の普通の運動量に、電磁場との相互作用による e\boldsymbol{A} の項が加わる。

ルジャンドル変換によりハミルトン力学へ移ると、運動量は力学変数となる。ハミルトン力学では運動量は座標とともに正準変数として重要な働きをする。

相対性理論[編集]

相対性理論において運動量とエネルギーミンコフスキー空間における四元ベクトルを為し、

p^\mu = m \frac{dx^\mu}{d\tau}

\,m は質量、\,\tau固有時間)である。これの空間成分は

p_j = m \frac{dx_j}{dt}\frac{dt}{d\tau} = \frac{mv_j}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}}

となる。非相対論的極限(v/c \to 0)において前述の運動量(質量と速度の積)に一致する。

運動量とエネルギーは

-m^2 c^2 = -\frac{E^2}{c^2} + \vec{p}^2

の関係を満たしている。運動量が\,0の場合は有名な \,E=mc^2 の式になっている。

量子論[編集]

(あるいは電磁波)はであるが、実験によりエネルギーと運動量を持つ粒子でもあると考えられている。 そのエネルギーと運動量は

E = h\nu = \hbar\omega
p = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda} = \hbar k

である。(ここで \,hプランク定数\,\nu振動数\,\omega角振動数\,c光速\,\lambda波長\,k波数である)

前述のエネルギーと運動量の関係式にこの関係を入れると、\,\omega=ck からこの粒子の質量は \,0 であることが分かる。この質量 \,0 の粒子を光子という。

量子力学では、上記の古典論的運動量 \vec{p} は、波動関数 \psi(t,\vec{x}) = \psi(t, x, y, z) に対する、

\vec{p} \rightarrow \frac{\hbar}{i}\vec{\nabla} = \left(
\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x},
\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial y},
\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial z}
\right)

という演算子であるとみなされる。ここに、\,i虚数単位\,\nablaナブラである。

或いはエネルギーとまとめて四元ベクトルで表すと、

p_\mu \rightarrow \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x^\mu}

である。これらは対応原理と呼ばれ、解析力学における作用積分 \,S汎関数微分

\frac{\delta S}{\delta x^\mu} = p_\mu

であることなどから類推された。

また、正準量子化という方法によれば、位置と運動量は正準交換関係

[x^\mu,p_\nu]=i\hbar \delta^\mu_\nu
[x^\mu,x^\nu]=0 \, ,\, [p_\mu,p_\nu]=0

を満たす物理量として量子化される。

対称性との関係[編集]

運動量は空間の一様性(並進対称性)に対応する保存量である。 時間の一様性に対応するエネルギー、空間の等方性に対応する角運動量とともに、基本的な物理量である[2]

脚注[編集]

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参考文献[編集]

関連項目[編集]