運動エネルギー

古典力学

$\boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \boldsymbol{v})$ 運動の第2法則

歴史

分野 静力学 · 動力学 / 物理学における動力学 · 運動学 · 応用力学 · 天体力学 · 連続体力学 · 統計力学 定式化 ニュートン力学 解析力学: ラグランジュ力学 ハミルトン力学 基本概念 空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 準拠枠 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 力学的仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理 主要項目 剛体 · 剛体の力学 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転運動 · 等速円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度 科学者 アイザック・ニュートン · エレミア・ホロックス · レオンハルト・オイラー · ジャン・ル・ロン・ダランベール · アレクシス・クレロー · ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ · ピエール＝シモン・ラプラス · ウィリアム・ローワン・ハミルトン · シメオン・ドニ・ポアソン

運動エネルギー（うんどうエネルギー、kinetic energy）は、運動している物体が持つエネルギー。運動している物体の速度を変化させるために必要なエネルギー（仕事）である。

直線運動の運動エネルギー

ニュートン力学的（非相対論的、古典的）には、運動をする物体の運動エネルギー K は、質量 m と速さ v の2乗に比例する。すなわち、

$K = \frac{1}{2}mv^2$

質量 m の質点が、時刻 $0 \to t$ で、速度が $\mathbf{v}_0 \to \mathbf{v}_1$ と変化したとすると、そのときに質点にした仕事 W は

$W = \int_0^t \!\!dt\,\frac{d\mathbf{x}}{dt}\cdot\mathbf{F}$

$=\int_0^t \!\!dt\, \mathbf{v}\cdot m\frac{d\mathbf{v}}{dt} \qquad\qquad\Bigl(\mathbf{F}=m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\Bigr)$

$=\int_0^t \!\!dt\, \frac{d}{dt}\Bigl( \frac{1}{2}m|\mathbf{v}|^2 \Bigr)$

$=\frac{1}{2}m|\mathbf{v}_1|^2-\frac{1}{2}m|\mathbf{v}_0|^2$

以上より、

$K(v_1)=K(v_0)+W(v_0\to v_1)$

つまり、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事量に等しい。

また、このとき、位置が $\mathbf{x} \to \mathbf{x}+\Delta \mathbf{x}$ と変化したとすると、

$\frac{1}{2}m\mathbf{v}_1^2 - \frac{1}{2}m\mathbf{v}_0^2 = \mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{x}$

これはエネルギー積分とも呼ばれる。

一方、上述の数学的証明がなされる以前、ガリレオによって、物体の振り子運動の観察により、物体の速度をｖ、高さをｈ、重力加速度をｇ、とすることで、

$2gh = v^2$

という関係が発見されていた。

回転運動の運動エネルギー

同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、慣性モーメント I と角速度 ω の2乗に比例する。であるから

$K = \frac{1}{2}I \omega^2$

解析力学における運動エネルギー

ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー K とポテンシャルエネルギー V の差として定義される。

$L(q,\dot{q};t)=K-V$

この際、ラグランジアンの引数は一般化座標 $q(t)$ とその時間微分 $\dot{q}(t)$、及び時間 t である。 多くの場合、一般化座標として位置 $x$ や 回転角 $\theta$ とするので、運動エネルギーは

$K=\sum_i \frac{1}{2}m_iv_i^2+\sum_j \frac{1}{2}I_i\omega_j^2$

となる。

ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアン H はラグランジアンから、

$H(q,p;t)=\sum p\dot{q}-L$

として定義される。ハミルトニアンの引数は一般化座標 $q(t)$ と一般化運動量 $p(t)$ である。元のラグランジアンでポテンシャルが $\dot{q}(t)$ に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、

$p_i(t)=\frac{\partial L}{\partial v_i}=m_iv_i$

$l_j(t)=\frac{\partial L}{\partial \omega_j}=I_j\omega_j$

( l は回転角度 θ に共役な角運動量)となり、運動エネルギーは

$K=\sum_i\frac{1}{2m_i}p_i^2+\sum_j\frac{1}{2I_j}l_j^2$

となる。

関連項目

• 位置エネルギーは、重力などのポテンシャルエネルギーによって発生する運動エネルギーが潜在している状態であるともいえる。