運動エネルギー

運動エネルギー（うんどうエネルギー、kinetic energy）は、運動している物体が持つエネルギー。運動している物体を停止させるために必要なエネルギー（仕事）。

[編集] 直線運動の運動エネルギー

ニュートン力学的（非相対論的、古典的）には、等速直線運動をする物体の運動エネルギーは、質量 m と速さ v の2乗に比例する。すなわち、

$E = {1 \over 2}mv^2$

これは運動方程式

$m {d \mathbf{v} \over {dt} } = \mathbf{F}$

を変位において定積分することによって得られる。

すなわち、変位が ( $0 \to{x}\quad$ ) となったとき速度が ( $0 \to{v}\quad$ ) に変化した。このとき、一定の力Fが加えられていたとすると

左辺： $\int_{0}^{x} m {d \mathbf{v} \over {dt} }\, dx = \int_{0}^{v} mv\, dv ={1 \over 2}m \mathbf{v}^2$

右辺： $\int_{0}^{x} F\, dx = Fx$

以上より

${1 \over 2}m\mathbf{v}^2 = Fx$

また、変位が ( $x \to x+\Delta x$ ) となったとき速度が ( $v_0 \to v$ ) に変化したとき同様の計算を行うと、

${1 \over 2}m\mathbf{v}^2 - {1 \over 2}m\mathbf{v_0}^2= F\Delta x$

これはエネルギー積分とも呼ばれ、「物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事量に等しい」ことを意味する。

一方、上述の数学的証明がなされる以前、ガリレオによって、物体の振り子運動の観察により、物体の速度をｖ、高さをｈ、重力加速度をｇ、とすることで、

2 g h = v 2

という関係が発見されていた。

同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、慣性モーメント I と角速度 ω の2乗に比例する。であるから

$E = {1 \over 2}I \omega^2$

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