トルク

古典力学

$\boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \boldsymbol{v})$ 運動の第2法則

歴史 分野 静力学 · 動力学 / 物理学における動力学 · 運動学 · 応用力学 · 天体力学 · 連続体力学 · 統計力学 定式化 ニュートン力学 解析力学: ラグランジュ力学 ハミルトン力学 基本概念 空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 準拠枠 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 力学的仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理 主要項目 剛体 · 剛体の力学 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転運動 · 等速円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度 科学者 アイザック・ニュートン · エレミア・ホロックス · レオンハルト・オイラー · ジャン・ル・ロン・ダランベール · アレクシス・クレロー · ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ · ピエール＝シモン・ラプラス · ウィリアム・ローワン・ハミルトン · シメオン・ドニ・ポアソン

固定された回転軸をもつ系に対して、力を作用させた時の物理量の関係。力のモーメント $\vec{\tau}$ と位置ベクトル $\vec{r}$ と力 $\vec{F}$ との関係（上の式）、および角運動量 $\vec{L}$ と位置ベクトル $\vec{r}$ と運動量 $\vec{p}$ との関係（下の式）。

トルク（英語：torque）は、ある固定された回転軸を中心にはたらく、回転軸のまわりの力のモーメントである。一般的には「ねじりの強さ」として表される。力矩、ねじりモーメントとも言う。

概要

トルクは、力と距離の積（外積）で表される量（モーメント）である。力の単位はN（ニュートン）だが、トルクの単位はN・m（ニュートンメートル）である。トルクはおもに工学、とくにエンジン・電動機・発電機・タービンなどの機械・機械工学などで用いられることが多い。

物体を回転させるために必要な力は、どこを押すかによって異なり、一般に回転軸（中心）からの距離に反比例する（てこ参照）。一方、物体をある角度だけ回転させるトルクは、力を作用させる点によらない量であり、一定である。

あるトルクは同じ軸のまわりの別の作用点に働くトルクで置き換えることができる。同じ軸を中心とするトルク同士を合成したり、またひとつのトルクを複数のトルクに分解することもできる。トルクを平行で同じ大きさをもち、反対向きの2つの力にわけたとき、その力をとくに偶力とよぶ。

定義

モンキーレンチにかかるトルク関係

力学では、トルクNは次のように定義される。

$\boldsymbol{N}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$

ここでFは物体に加わる力、rは回転の軸からみた力の加わる点までの距離（ベクトル）を表す。トルクNはベクトル量であり、Nの向きを進行方向とする右ねじ回りに物体を回転させる効果をもつ。Fが等しいとき、腕の長さrが長いほうが物体を回転させる効果 (N) が大きい。

トルクはFとrの外積量であるため、同じく力と移動距離の積で表される仕事の単位"Nm"に対しては、"N・m"と間に点を打って表記することによって区別する。なお、仕事の解説についても、仕事が力と移動距離の積であることを表すために"N・m"と表記されることがあるので注意が必要である。

物体の慣性モーメントI、角加速度α、トルクNの間には、ニュートンの運動方程式とよく似た関係が成り立つ。

$I\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{N}$

回転運動と直線運動

回転運動に関する量のあいだには、直線運動で成り立つ法則に対応する類似の法則を見出すことができる。これは法則が似るように回転運動での量を定義したものだからである。トルクは「力」そのものではなく「力のモーメント」であり、慣性モーメントは質量に距離の2乗をかけたものである。

回転運動と直線運動の対応一覧

量	回転運動		直進運動
運動方程式	$I\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{N}$		$m\boldsymbol{a}=\boldsymbol{F}$
位置、変位	角度	$\boldsymbol{\theta}$	位置、距離	$\boldsymbol{r}$
速度	角速度	$\omega={d\theta \over dt}={\boldsymbol{v} \over \boldsymbol{r}}$	速度	$\boldsymbol{v}={d\boldsymbol{r} \over dt}$
加速度	角加速度	$\alpha={d\omega \over dt}={d^2\theta \over dt^2}$	加速度	$\boldsymbol{a}={d\boldsymbol{v} \over dt}={d^2\boldsymbol{r} \over dt^2}$
力	トルク	$\boldsymbol{N}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}$	力	$\boldsymbol{F}$
慣性	慣性モーメント	I = mr2	質量	m
運動量	角運動量	$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}$	運動量	$\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}$
力と運動量	$\boldsymbol{N}={d\boldsymbol{L} \over dt}$		$\boldsymbol{F}={d\boldsymbol{p} \over dt}$
運動エネルギー	${1\over 2}I\omega^2$		${1\over 2}mv^2$
仕事	$|\boldsymbol{N}||\theta|$		$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{r}$
仕事率	$|\boldsymbol{N}||\omega|$		$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v}$
ダンパーとばねに発生する力を 考慮した運動方程式	Iα + cω + kθ = N		ma + cv + kx = F

関連項目

• 角運動量
• 角運動量保存の法則
• 力のモーメント
• ジャイロスコープ
• 慣性計測装置