調和振動子

	古典力学
	; 運動の第2法則
分野
	静力学 · 動力学 / 物理学における動力学 · 運動学 · 応用力学 · 天体力学 · 連続体力学 · 統計力学
定式化
	ニュートン力学; 解析力学: ラグランジュ力学; ハミルトン力学; ;
基本概念
	空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 準拠枠 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 力学的仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理
主要項目
	剛体 · 剛体の力学 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転運動 · 等速円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度
科学者
	アイザック・ニュートン · エレミア・ホロックス · レオンハルト・オイラー · ジャン・ル・ロン・ダランベール · アレクシス・クレロー · ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ · ピエール＝シモン・ラプラス · ウィリアム・ローワン・ハミルトン · シメオン・ドニ・ポアソン
	表・話・編・歴

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調和振動子（ちょうわしんどうし、英語：harmonic oscillator）とは、ポテンシャルの大きさが中心からのユークリッド距離の２乗に比例する振動運動を行う振動子のことである。平たく言えば、理想的なバネにつながれた物体の振動のこと。運動の自由度によって一次元、二次元、三次元調和振動子がある。

特徴の一つは、振幅ないしそれに対応する物理量によることなく定まった周期で振動することである。調和振動子は一点を中心とする振動の単純なモデルであり、実際の問題では複雑なポテンシャルを調和振動子で置き換えることもよくある。たとえば結晶で、格子点にある原子の熱振動を三次元調和振動子とみなして、比熱などの理論値を計算することができる。

[編集] 古典的な調和振動子

[編集] 運動方程式から

ばね定数 k のばねにつながれた質量 m の物体を考える。ばねの自然長から x だけ引っ張り、手を離すと物体は振動を始める。物体にかかる力は -kx である。ニュートンの運動方程式 $m x'' = - k x$ を解くと、一般解は次のようになる（' は時間微分）。

$x (t) = A cos ω t + B sin ω t$
$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ : 調和振動子の角振動数（固有円振動数）

A,B は定数で、初期条件によって決まる。振動数 ω は、ばね定数と物体の質量には依存するが、振幅などの初期条件（これは定数A,Bに関係）にはよらない。

振動運動にさらに詳しい議論がある。

[編集] 解析力学から

調和振動子のポテンシャル U は次のようになる。

$U=\frac{1}{2}kq^2$

ただし q はばねの自然長からのずれである。ハミルトニアン H = T + U を求めれば、運動はハミルトンの正準方程式にしたがう。T は運動エネルギー、p は運動量である。

$H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{k}{2}q^2$

ところで、この系がある一定の力学的エネルギー E を持っているとき、ハミルトニアン H の値は E にほかならない。このときq と p を座標軸にとってみると、上の式は楕円の方程式になっている。このように座標空間と運動量空間からなる空間を相空間と呼び、ある時刻の系の状態は位相空間内の一点であらわされるのだが、その点が動いた軌跡のことをトラジェクトリーと呼ぶ。

[編集] 量子的な調和振動子

[編集] 正準量子化

ハミルトニアンを正準量子化すると、1次元の量子的な調和振動子についての時間依存しないシュレーディンガー方程式は、以下のように書ける。

$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}kx^2\right]\phi(x)=E\phi$

この方程式は煩雑だが解析的に解くことができ、その解（エネルギー固有状態）はエルミート多項式H_nを使って以下のように表される。

$\phi_n(x)=AH_n(\xi)\exp\left(-\frac{\xi^2}{2}\right)$

ただし、 $\xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x$

ここでA は規格化定数である。

エネルギー固有値は次のようになる。

$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) \qquad (n=0,1,2,...)$

つまりエネルギー準位は $\hbar\omega$ という均等な間隔で並ぶ。

以上は一次元調和振動子の場合であるが、二次元、三次元も同様に解ける。結果だけを言えば、エネルギー固有値は次のようになる。

$E_N=\hbar\omega\left(N+\frac{3}{2}\right)$

N は三方向の量子数(nx,ny,nz)の和で、また E_N は、 $\frac{(N+2)(N+1)}{2}$ 重に縮退している。

[編集] 生成消滅演算子

もうひとつの扱い方は生成消滅演算子を使用する方法である。

以下のような演算子を定義する。

$\hat{a}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(+\frac{\partial}{\partial x}+\frac{m\omega}{\hbar}x\right)$ : 消滅演算子
$\hat{a}^\dagger=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(-\frac{\partial}{\partial x}+\frac{m\omega}{\hbar}x\right)$ : 生成演算子