調和振動子

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調和振動子 (ちょうわしんどうし, Harmonic oscillator) とは、ポテンシャルの大きさが中心からのユークリッド距離の２乗に比例する振動運動を行う振動子のことである。平たく言えば、理想的なバネにつながれた物体の振動のこと。運動の自由度によって一次元、二次元、三次元調和振動子がある。

特徴の一つは、振幅ないしそれに対応する物理量によることなく定まった周期で振動することである。 調和振動子は一点を中心とする振動の単純なモデルであり、実際の問題では複雑なポテンシャルを調和振動子で置き換えることもよくある。 たとえば結晶で、格子点にある原子の熱振動を三次元調和振動子とみなして、比熱などの理論値を計算することができる。

目次

[編集] 運動方程式から

ばね定数 k のばねにつながれた質量 m の物体を考える。ばねの自然長から x だけ引っ張り、手を離すと物体は振動を始める。物体にかかる力は -kx である。ニュートンの運動方程式 mx'' = − kx を解くと、一般解は次のようになる（' は時間微分）。

x(t) = Acosωt + Bsinωt
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} : 調和振動子の角振動数（固有円振動数）

A,B は定数で、初期条件によって決まる。振動数 ω は、ばね定数と物体の質量には依存するが、振幅などの初期条件（これは定数A,Bに関係）にはよらない。

振動運動にさらに詳しい議論がある。

[編集] 解析力学から

調和振動子のポテンシャル U は次のようになる。

U=\frac{1}{2}kq^2

ただし q はばねの自然長からのずれである。ハミルトン関数 H = T + U を求めれば、運動はハミルトンの正準方程式にしたがう。T は運動エネルギー、p は運動量である。

H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{k}{2}q^2

ところで、この系がある一定の力学的エネルギー E を持っているとき、ハミルトン関数 H の値は E にほかならない。このときq と p を座標軸にとってみると、上の式は楕円の方程式になっている。このように座標空間と運動量空間からなる空間を相空間と呼び、ある時刻の系の状態は位相空間内の一点であらわされるのだが、その点が動いた軌跡のことをトラジェクトリーと呼ぶ。

[編集] 量子力学の例

[編集] 解析的に

シュレーディンガー方程式に上のポテンシャル U(x) を代入する。

\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}kx^2\right]\phi(x)=E\phi

これは煩雑だが解析的に解くことができる。方程式の固有解はエルミート多項式Hnを使ってあらわされる。固有状態は次のようになる。A は規格化定数である。

\phi_n(x)=AH_n(\xi)\exp\left(-\frac{\xi^2}{2}\right)
ただし、\xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x

基底状態の波動関数は次のようになる。正規分布型なので、規格化定数はガウス積分を使って計算する。

\phi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\hbar\pi}\right)^\frac{1}{4} \exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\right)

エネルギー固有値は次のようになる。

E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) \qquad (n=0,1,2,...)

エネルギー準位は \hbar\omega という均等な間隔で並ぶ。

以上は一次元調和振動子の場合であるが、二次元、三次元も同様に解ける。結果だけを言えば、エネルギー固有値は次のようになる。

E_N=\hbar\omega\left(N+\frac{3}{2}\right)

N は三方向の量子数(nx,ny,nz)の和で、また EN は、\frac{(N+2)(N+1)}{2} 重に縮退している。

[編集] 生成消滅演算子

もうひとつの扱い方は生成消滅演算子を使用する方法である。

上にあるシュレディンガー方程式の左辺は-c2+d2の形になっているため、(-c-d)(-c+d)と因数分解できる。

以下のような演算子を定義する。

\hat{a}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(-\frac{\partial}{\partial x}-\frac{m\omega}{\hbar}x\right) : 消滅演算子
\hat{a}^\dagger=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(-\frac{\partial}{\partial x}+\frac{m\omega}{\hbar}x\right) : 生成演算子

これをつかうと、上のシュレディンガー方程式は次のように書きなおせる。

\hbar\omega\left(\hat{a}\hat{a}^\dagger+\frac{1}{2}\right)\phi=E\phi

1/2の項が出るのは演算子に微分が含まれているためである。エネルギー固有値との比較から、aa^\daggerは n と等しいことがわかる。これを数演算子と呼ぶ。

生成・消滅演算子を固有状態φn(x)に作用させると、n を増減させる。

\hat{a}\phi_n(x)=\sqrt{n}\phi_{n-1}(x)
\hat{a}^\dagger\phi_n(x)=\sqrt{n+1\,}\phi_{n+1}(x)
\hat{a}\phi_0(x)=0 : 基底状態(粒子数0)からもう粒子は消せない

n をなんらかの粒子の数と見なすならば、生成演算子は粒子を一つ作り、消滅演算子は一つ減らす働きをする。上の解析的方法とやっていることは同じなのだが、演算子とブラ-ケットの記法を使えば式を計算するよりもずっと楽に扱える。

[編集] 関連項目

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