ハミルトン力学

古典力学

$\boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \boldsymbol{v})$ 運動の第2法則

歴史

分野 静力学 · 動力学 / 物理学における動力学 · 運動学 · 応用力学 · 天体力学 · 連続体力学 · 統計力学 定式化 ニュートン力学 解析力学: ラグランジュ力学 ハミルトン力学 基本概念 空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 準拠枠 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 力学的仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理 主要項目 剛体 · 剛体の力学 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転運動 · 等速円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度 科学者 アイザック・ニュートン · エレミア・ホロックス · レオンハルト・オイラー · ジャン・ル・ロン・ダランベール · アレクシス・クレロー · ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ · ピエール＝シモン・ラプラス · ウィリアム・ローワン・ハミルトン · シメオン・ドニ・ポアソン

ハミルトン力学（ハミルトンりきがく、英語：Hamiltonian mechanics）は、一般化座標と一般化運動量を基本変数として記述された古典力学である。イギリスの物理学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンが創始した。ラグランジュ力学と同様にニュートン力学を再公式化した解析力学の一形式。

概要

ハミルトン形式の解析力学はルジャンドル変換によってラグランジュ形式から移行する。 元々はニュートン的な力学の分野において成立したが、ラグランジュ形式と同様に幅広い分野へと応用されている。

特に量子力学においては、正準量子化の手続きによって、ハミルトン形式での物理量を演算子に置き換えることで量子化することが出来る。

また量子多体論において用いられるTDHF近似は、ある変換の下でハミルトン力学と等価である事が知られている。この事は古典力学が単なる量子力学の近似ではなく、この世界における何らかの事実を表しているという期待を持たせる。

ハミルトン形式では一般化座標に加えて一般化運動量によって記述されており、その方程式は対称な形となっている。力学変数が2倍に増えて運動方程式の数は増えるが、二階微分方程式が一階微分方程式となる。

定式化

ハミルトン形式は一般化座標 $\boldsymbol{q}(t) = (q_1,\ldots )$ と一般化運動量 $\boldsymbol{p}(t) = (p_1,\ldots )$ によって記述される。

それぞれの時間微分は

$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q},t),~ \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q},t)$

で与えられる。ドットは時間微分を表す。この式を正準方程式、或いはハミルトン方程式と呼ばれる。

一般化座標、一般化運動量、および時間の関数 $H(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q},t)$ はハミルトニアンと呼ばれる。

ハミルトン形式において物理量は一般化座標、一般化運動量、および時間の関数 $A(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q},t)$ として書かれる。物理量の時間微分は

$\dot{A} = \dot{q}_i\, \frac{\partial A}{\partial q_i} +\frac{\partial A}{\partial p_i} \dot{p}_i +\frac{\partial A}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{\partial A}{\partial q_i} -\frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i} +\frac{\partial A}{\partial t}$

となる。特にハミルトニアンの時間微分は

$\dot{H}= \frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i} -\frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i} +\frac{\partial H}{\partial t} =\frac{\partial H}{\partial t}$

である。

ハミルトニアン

ハミルトニアンはラグランジアンから

$H(p,q,t) = \sum_i p_i\, \dot{q}_i(p,q,t) -L(q, \dot{q}(p,q,t), t)$

で定義される。

ラグランジアンが

$L(q,\dot{q},t) = \sum_i \frac{\alpha_i(q)}{2}\dot{q}_i^2 -V(q)$

の形で書かれていた場合、ハミルトニアンは

$H(p,q,t)=\sum_i \frac{1}{2\alpha_i(q)}p_i^2+V(q)$

となり、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和、すなわち、系の全エネルギーであることが分かる。 ハミルトニアンの時間微分は

$\dot{H} =\frac{\partial H}{\partial t}$

であり、ハミルトニアンが陽に時間に依存しないときは全エネルギーが保存する。

なお、ハミルトニアンは一般化座標、一般化運動量、および時間の関数として書かれた量であり、引数が違えば大きさが同じであってもハミルトニアンではない。 ハミルトニアンを定義式内の一般化速度は一般化運動量の定義式を逆に解いて一般化座標、一般化運動量、および時間の関数 $\dot{q}_i(p,q,t)$ として書かれている。

正準変換

一般化座標 q、一般化運動量 p から、変換

$P_i = P_i(p,q,t),\quad Q_i=Q_i(p,q,t)$

をしたとき、P,Q と時間の関数として書かれた新たなハミルトニアン H'(P,Q,t) を用いて、

$\dot{Q}_i = \frac{\partial H'}{\partial P_i},~ \dot{P}_i = -\frac{\partial H'}{\partial Q_i}$

となるとき、この変換を正準変換と言う。 正準変換によって、一般化座標と一般化運動量は相互に混じり合い、両者の区別は曖昧なものとなる。 一般化座標と一般化運動量を総称して正準共役量と呼ぶ。

正準共役量 p,q によって張られる空間は位相空間と呼ばれ、正準変換は二つの位相空間を対応付ける変換である。

ポアソン括弧

ポアソン括弧（ポアソンの括弧式）とは、正準変数と時間の関数として書かれた物理量 A, Bに対して、

$\{ A, B \} = \sum_i \biggl( \frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i} -\frac{\partial B}{\partial p_i}\frac{\partial A}{\partial q_i} \biggr)$

で定義される物理量である。

物理量の時間微分はハミルトニアンとのポアソン括弧を用いて

$\dot{A} = \{ H, A \} +\frac{\partial A}{\partial t}$

となる。物理量が陽に時間に依存しないときは

$\dot{A} = \{ H, A \}$

となる。

量子力学ではポアソン括弧は正準量子化の手続きによって、正準交換関係と対応付けられる。

ポアソン括弧の性質

ポアソン括弧は任意の物理量に対して以下の性質を満たす。

反対称性

$\{ A, B\} = -\{ B, A \}$

とくに、$\{ A, A\} = 0$

双線型性

$\{ aA+bB, C\} = a\, \{ A, C \} +b\, \{ B, C \}$

$\{ C, aA+bB\} = a\, \{ C, A \} +b\, \{ C, B \}$

(a, b は p, q に依らない定数)

ライプニッツ則

$\{ AB, C \} = \{ A, C \} B +A \{ B, C \}$

$\{ C, AB \} = \{ C, A \} B +A \{ C, B \}$

ヤコビ恒等式

$\{ A, \{ B, C\} \} +\{ B, \{ C, A \} +\{ C, \{ A, B\} \} =0$

また、正準変数 p, q に対して以下が成り立つ。

$\{ p_i, p_j \} = \{ q_i, q_j \} =0$

$\{ p_i, q_j \} =\delta_{ij}$

$\{ p_i, A \} = \frac{\partial A}{\partial q_i}$

導出

ラグランジアン $L(q_i,\dot{q}_i,t)$ の全微分は

$dL = \sum_i \biggl( dq_i\, \frac{\partial L}{\partial q_i} +d\dot{q}_i\, \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i} \biggr) +\frac{\partial L}{\partial t} dt$

である。 一般化運動量は $p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}$ で定義され、ラグランジュの運動方程式から $\dot{p}_i=\frac{\partial L}{\partial q_i}$ である。これを用いて先ほどの全微分を書き換えれば、

$\begin{align} dL &=\sum_i (dq_i\, \dot{p}_i +d\dot{q}_i\, p_i) +\frac{\partial L}{\partial t}dt \\ &= \sum_i (dq_i\, \dot{p}_i -\dot{q}_i\, dp_i +d(\dot{q}_i\, p_i)] +\frac{\partial L}{\partial t} dt \\ \end{align}$

となる。全微分を移項して

$d\Bigl(\sum_i \dot{q}_i\, p_i -L \Bigr) = \sum_i (\dot{q}_i\, dp_i -dq_i\, \dot{p}_i) -\frac{\partial L}{\partial t} dt$

となる。ハミルトニアン

$H(p,q,t) =\sum_i \dot{q}_i(p,q,t)\, p_i -L(q, \dot{q}(p,q,t), t)$

を定義すれば、

$\begin{align} dH & =\sum_i \bigg(\frac{\partial H}{\partial p_i} dp_i +dq_i \frac{\partial H}{\partial q_i} \biggr) +\frac{\partial H}{\partial t} dt = \sum_i (\dot{q}_i\, dp_i -dq_i\, \dot{p}_i) -\frac{\partial L}{\partial t} dt \end{align}$

となり、

$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i},~ \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i},~ \frac{\partial H}{\partial t} =-\frac{\partial L}{\partial t}$

を得る。

関連記事

• 変分原理
• シンプレクティック幾何学 - ハミルトンベクトル場

参考文献

• L.D.ランダウ、E.M.リフシッツ 『力学』 東京図書出版〈理論物理学教程〉、1974年。ISBN 4-489-01160-1。
• 江沢洋 『解析力学』 培風館〈新物理学シリーズ〉、2007年。ISBN 978-4-563-02436-9。