慣性モーメント

古典力学

$\boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \boldsymbol{v})$ 運動の第2法則

歴史

分野 静力学 · 動力学 / 物理学における動力学 · 運動学 · 応用力学 · 天体力学 · 連続体力学 · 統計力学 定式化 ニュートン力学 解析力学: ラグランジュ力学 ハミルトン力学 基本概念 空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 準拠枠 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 力学的仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理 主要項目 剛体 · 剛体の力学 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転運動 · 等速円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度 科学者 アイザック・ニュートン · エレミア・ホロックス · レオンハルト・オイラー · ジャン・ル・ロン・ダランベール · アレクシス・クレロー · ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ · ピエール＝シモン・ラプラス · ウィリアム・ローワン・ハミルトン · シメオン・ドニ・ポアソン

慣性モーメント（英語：moment of inertia）あるいは慣性能率、イナーシャとは、加減速トルクの角加速度に対する比例定数である。

基本定義式：$I = T \left/ \frac{d\omega}{dt} \right.$

I：慣性モーメント、T：加速トルク、ω：角速度、t：時間、$\frac{d\omega}{dt}$：角加速度

いま、回転体の微少な質点m_i が、回転軸の廻りの距離 r_i の位置で角加速度$\frac{d\omega}{dt}$を受ける場合の慣性力f_i は、r_iでの周方向の速度vが v＝r_iω、従ってそれを時間微分した加速度が

$\frac{dv}{dt} = r_i \frac{d\omega}{dt}$

となり、

$f_i=m_i r_i \frac{d\omega}{dt}$

となる。トルクの定義により、これにr_i を乗ずれば質点m_iによるトルクt_iを求めることが出来る。すなわち

$t_i=m_i r_i^2 \frac{d\omega}{dt}$

となる。回転体の総ての質点で発生するトルクの総和が総トルクTだから、

$T= \sum_i t_i =\sum_i m_i r_i^2 \frac{d\omega}{dt} \equiv I \frac{d\omega}{dt} = I \frac{d^2\theta}{dt^2}$

以上より加速トルクTの比例定数：イナーシャIが物理定数として定義される
トルクT=イナーシャI・角加速度$\frac{d^2 \theta}{dt^2}$

$T\left/\frac{d\omega}{dt}\right.\equiv I=\sum_i m_i r_i^2$

一方mの全質量Mは、全質点の総和、Σ_iM_iなので、イナーシャIをMで正規化して、円板、円筒などの幾何学形状だけで決まる定数式を算出して一覧表としておき、これに形状質量Mを乗じてイナーシャを算出することが多い。

一般にN個の質点からなる系の慣性モーメントは、

$I = \sum_i m_i r_i^2$

と定義される。m_iはi番目の質点の質量、r_iは中心軸からの距離である。

対象が連続体であるときの慣性モーメントの定義は、

$I = \int r^2 dm = \int \rho r^2 dV$

となる。rは中心軸からの距離、dmは微小質量、ρは密度分布である。

回転機器の古い解析書で「GD^2／4」としているのは円筒状回転子の直径Dから、kgfなど常用単位でのイナーシャを求めているものである。

イナーシャの算出例

中心が回転軸の円板

円板半径a、半径r、密度ρ、全質量Mとするとき、

$\Delta M=2\pi r \rho \Delta r$

だから

$M=\int dM=\int_0^a 2\pi r \rho dr=\rho\pi[r^2]_0^a=\rho\pi a^2$

$\Delta I=2\pi r \rho r^2 \Delta r$

だから

$I=2\pi\rho\int_0^a r^3 dr=2\pi\rho[r^4 /4]_0^a=\frac{1}{2}\rho\pi a^4=\frac{1}{2}a^2 M$

リング状円板

上式から穴の分を抜いて、さらに質量も穴の分を抜いて算出すればいい。
円板外径a、円板くり抜き内径b、半径r、密度ρ、全質量Mとするとき、

$I=\frac{1}{2}(a^2+b^2)M$

となる。

【参考】イナーシャI廻りの回転運動式
角速度$\omega=\frac{d\theta}{dt}$ 但しθは角度
等速回転運動 回転角$\theta=\frac{d\theta}{dt}t\equiv\omega t=2\pi nt$ 但しnは毎秒回転数
トルク(偶力)T=rF 回転軸と力点の距離r、力点でr方向に直角に加える力F
角運動量 $L=I\omega=I\frac{d\theta}{dt}$
回転加速度運動 $T=I\frac{d\omega}{dt}=I\frac{d^2\theta}{dt^2}$
回転エネルギー $E=\frac{1}{2}I\omega^2$
時計のテンプの回転振動 $I \frac{d^2\theta}{dt^2}+k\theta=\Delta$ ･････ (2階の振動解、kはトルク定義のバネ定数、$2\pi\sqrt{\frac{I}{k}}$が 回転振動周期となる）

性質

重さの無視できる棒の両端に、質量m,Mの物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれa,Aとする。このとき、中心に対する慣性モーメントIは、

$I=m a^2 + M A^2$

と、計算される。この定義から明らかなように、慣性モーメントは、中心（中心軸）のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。

剛体の角運動量 $\boldsymbol L$ と角速度 $\boldsymbol\omega$ の関係は

$\boldsymbol L = I \boldsymbol\omega$

と記述できる。角速度ベクトルと角運動量ベクトルが平行の場合は $I$ はスカラーとなるが、一般の場合はテンソルとなり、慣性テンソルと呼ぶ。 すなわち、

$\begin{pmatrix}L_x\\L_y\\L_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz} \\ -I_{yx}&I_{yy}&-I_{yz} \\ -I_{zx}&-I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_x\\ \omega_y \\ \omega_z\end{pmatrix}$

ここで、

$I_{xx} = I_x = \int (y^2+z^2)\rho dV,\quad I_{yy} = I_y = \int (x^2+z^2)\rho dV,\quad I_{zz} = I_z = \int (x^2+y^2)\rho dV$

$I_{xy} = I_{yx} = \int xy\rho dV,\quad I_{xz} = I_{zx} = \int zx\rho dV,\quad I_{yz} = I_{zy} = \int yz\rho dV$

$I_x$ ・ $I_y$・$I_z$ を（それぞれ x、 y、 z軸に関する）慣性モーメント、 $I_{xy}$ ・ $I_{yz}$ ・ $I_{zx}$ を慣性乗積という。

ここで、慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 $\{ e_1,\, e_2,\, e_3 \}$ をえらぶことで対角化（すなわち $I_{xy}=I_{yz}=I_{zx}=0$）することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、 慣性モーメント $\{ I_1,\, I_2,\, I_3 \}$ のことを主慣性モーメントと呼ぶ。慣性主軸座標系では角運動量は

$\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I_1&0&0\\0&I_2&0\\0&0&I_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_1\\ \omega_2\\ \omega_3\end{pmatrix}$

と単純に表すことができる。

工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール（はずみ車）という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。

関連項目

• オイラーの運動方程式
• 断面二次モーメント
• 慣性計測装置

回転運動と直線運動の対応一覧

量	回転運動		直進運動
運動方程式	$I\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{N}$		$m\boldsymbol{a}=\boldsymbol{F}$
位置、変位	角度	$\boldsymbol{\theta}$	位置、距離	$\boldsymbol{r}$
速度	角速度	$\omega={d\theta \over dt}={\boldsymbol{v} \over \boldsymbol{r}}$	速度	$\boldsymbol{v}={d\boldsymbol{r} \over dt}$
加速度	角加速度	$\alpha={d\omega \over dt}={d^2\theta \over dt^2}$	加速度	$\boldsymbol{a}={d\boldsymbol{v} \over dt}={d^2\boldsymbol{r} \over dt^2}$
力	トルク	$\boldsymbol{N}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}$	力	$\boldsymbol{F}$
慣性	慣性モーメント	$I=mr^2$	質量	$m$
運動量	角運動量	$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}$	運動量	$\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}$
力と運動量	$\boldsymbol{N}={d\boldsymbol{L} \over dt}$		$\boldsymbol{F}={d\boldsymbol{p} \over dt}$
運動エネルギー	${1\over 2}I\omega^2$		${1\over 2}mv^2$
仕事	$|\boldsymbol{N}||\theta|$		$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{r}$
仕事率	$|\boldsymbol{N}||\omega|$		$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v}$
ダンパーとばねに発生する力を 考慮した運動方程式	$I\alpha+c\omega+k\theta=N$		$ma+cv+kx=F$