直交座標系

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数学における直交座標系(ちょっこうざひょうけい、rectangular coordinate system, orthogonal coordinate system[1])とは、互いに直交している座標軸を指定することによって定まる座標系のことである。平面上の直交座標系ではそれぞれの点に対して一意に定まる二つの実数の組によって点の位置が指定される。同様にして空間上の直交座標系では三つの実数の組によって座標が与えられる。

1637年に発表された『方法序説[2]において平面上の座標の概念を確立したルネ・デカルトの名を採ってデカルト座標系 (Cartesian coordinate system) とも呼ぶ。

平面上の直交座標系[編集]

直交座標系による平面上の点の座標と四つの象限

まず平面上に数直線を一本引く。この直線を x と呼ぶことにする。x 軸に対して直角に直線を引いた直線上の全ての点は、同じ x 座標の値をとると定める。次にこの x 軸に対して、原点から直角にもう一本数直線を引く。これを y と呼ぶことにする。y 軸も x 軸と同様に y 軸に対して直角に直線を引いた直線上の全ての点は、同じ y 座標の値をとると定める。

座標軸の向きには任意性があるが、普通y軸の正の向きはx軸の正の向きから一直角分反時計回りに回転した向き(右手系)にとられる。また、x軸は水平方向に右の方向を正の向きにして描かれるのが普通であり、そのときy軸は垂直方向に上の方向を正の向きとすることになる。

平面上の点それぞれについて実数の対 (a, b) が一意的に定まり、その点を通ってx 軸上の点 a においてx軸と直角に交わる直線と、 その点を通ってy 軸に b で直角に交わる直線を各一本のみ引くことが出来る。このときこの点の座標は (a, b) であるという。x軸とy軸が交わる点は原点とよばれ、原点の座標は (0, 0) になる。

x 座標とy 座標とがともに正の値をとる点からなる領域は第一象限とよばれる。また、x 座標が負でy 座標が正の値をとる点からなる領域は第二象限x 座標とy 座標とがともに負の値をとる点からなる領域は第三象限x 座標が正でy 座標が負の値をとる点からなる領域は第四象限とよばれる。

高次元の直交座標系[編集]

3次元の直交座標系

3次元空間の直交座標系は空間内で互いに直交する3本の数直線 x軸、 y軸、z軸を決めることによって定められる。平面の場合と同様にして、空間のそれぞれの点に対しその点から各座標軸への垂線の交点を表す実数たちの組 (a, b, c) によって座標が与えられる。三つの軸の向きは右手系の向きにとられるのが普通である。また、x軸とy軸を含む平面(xy-平面)が水平で、z軸の向きはxy-平面に対し鉛直上向きとなるように各座標軸が配置されることが多い。

右図では三本の線が座標軸を表しており、赤い平面上の点はx座標が1であり、黄色い平面上の点はy座標が -1、青い平面上の点はz座標が1である。黒い点の座標は (1, -1, 1) になる。

より一般に、d次元の実内積空間 E に対し、その正規直交基底 (e1, …, ed) に関する座標は直交座標系とよばれる。

関連項目[編集]

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  1. ^ 文脈によっては orthogonal coordinate system はより一般の、一つの座標成分のみを動かして得られる座標曲線たちが互いに直交しているような直交曲線座標系をさすことがある。
  2. ^ R・デカルト 『理性を正しく導き、もろもろの科学における真理を探究するための方法序説』付録 La Géométrie, コーネル大学図書館