エディントンのイプシロン

エディントンのイプシロンは、数学で用いられる記号。交代記号、レヴィ=チヴィタ記号、レヴィ=チヴィタの完全反対称テンソルなどの呼び名もある。

定義

i, j, k はそれぞれ 1, 2, 3 のいずれかであるとする。このとき、

$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} 1& \big(\,(i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)\,\big) \\-1& \big(\,(i, j, k) = (1, 3, 2), (3, 2, 1), (2, 1, 3) \,\big)\\0& \mathrm{(otherwise)}\end{cases}$

つまり、添字が (1, 2, 3) の置換の場合はその符号、そうではなく、添字に重複する数字を持つ場合は 0 を値に持つテンソルである。

性質

以下、アインシュタインの縮約記法に従って表記する。2 つのエディントンのイプシロンの添字について縮約すると以下の式が得られる。

$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\,$

$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ljk}=2\delta_{il}\,$

$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}=6\,$

ここで δ_ij はクロネッカーのデルタである。

使用例

ベクトル $\mathbf a =(a_x, a_y, a_z), \mathbf b =(b_x, b_y, b_z)$ の外積は

$\mathbf a \times\mathbf b= \mathbf e_i \varepsilon_{ijk} a_j b_k$

として表される。

ベクトル 3 重積の公式

$\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c) = \mathbf b(\mathbf a \cdot \mathbf c)-\mathbf c(\mathbf a \cdot \mathbf b)$

の証明に使える。

$\begin{align} \mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c) &= \mathbf e_i \varepsilon_{ijk} a_j (\mathbf b \times \mathbf c)_k \\ &= \mathbf e_i \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{klm} a_j b_l c_m \\ &= \mathbf e_i(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})a_j b_l c_m \\ &= \mathbf e_i b_i(\delta_{jm} a_j c_m) - \mathbf e_i c_i(\delta_{jl} a_j b_l) \\ &= \mathbf b(\mathbf a \cdot \mathbf c)-\mathbf c(\mathbf a \cdot \mathbf b) \end{align}$

高階への拡張

先の定義をそのまま拡張する、つまり添え字が (1, 2, ..., n) の置換の場合はその符号、そうではなく、添え字に重複する数字を持つ場合は 0 を値に持つテンソルを考えることによって、このテンソルを高階に拡張することができる。実際に 4 階に拡張したものは、相対論的にマクスウェル方程式を記述するのに用いられる。

関連項目

• クロス積
• 外積代数
• ホッジ作用素