転置行列

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転置行列(てんちぎょうれつ、transposed matrix)とは mn 列の行列 A に対して A の (i, j) 要素と (j, i) 要素を入れ替えた nm 列の行列、つまり対角線で成分を折り返した行列のことである。転置行列は ATtA、また Atr などと表現される。

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A = 
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix},\quad
B =
\begin{pmatrix}
  a & b & c \\
  d & e & f
\end{pmatrix}

に対して転置行列 AT, BT はそれぞれ


A^{\mathrm{T}} = 
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9 \\
\end{pmatrix}, \quad
B^{\rm T} =
\begin{pmatrix}
  a & d \\
  b & e \\
  c & f
\end{pmatrix}.

性質[編集]

A, B は行列、k はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて次が成り立つ:

  • (AT)T = A, (A + B)T = AT + BT, (AB)T = BTAT, (kA)T = kAT
  • n 次正方行列 Aトレースを tr A とすると tr A = tr AT
  • n 次正方行列 A と標準内積 (·, ·) に関して (Ax, y) = (x, ATy) が任意の n 次元ベクトル x, y に対して成り立つ。

線形写像との関係[編集]

m × n 行列 An 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 W への線形写像 fA とみなすとき、A の転置行列 AT には fA の転置写像が対応する。すなわち、AT に対応する W双対空間 W* から V の双対空間 V* への線形写像は

{}^tf_A (\xi) = \xi \circ f_A

(for ξ ∈ W*) によって定義される写像 tfA: W*V* である。

関連項目[編集]