直積 (ベクトル)

外部積あるいは直積（ちょくせき、outer product）は、行列のクロネッカー積の特別の場合として、2 つのベクトルからテンソルを導き出す演算。スカラー積（内積）・ベクトル積（クロス積）に対しテンソル積とも呼ばれるが、テンソル積はもっと広い意味の用語であり、直積はベクトル同士のテンソル積の 1 つ（もう 1 つは内積）である。

直積は、実ベクトル a, b に対して

$\mathbf a \circ \mathbf b = \mathbf a \mathbf b^\operatorname{T} = (a_i b_j) = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n \end{pmatrix}$

と定義される。n は次元数。M^T は転置行列で、ベクトルは列行列とみなす。

複素ベクトルに対しては

$\mathbf a \circ \mathbf b = \mathbf a \mathbf b^* = (a_i \bar{b_j})$

と定義される。M^* は共役転置行列。

この定義は内積

$\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a^\operatorname{T} \mathbf b = a_i b_i$

と対称をなしている。同じ添え字 (i) は縮約記法で、i についての総和を取る。

外積は

$\mathbf a \wedge \mathbf b = \mathbf a \circ \mathbf b - \mathbf b \circ \mathbf a$

と表せ、特に 3 次元でのクロス積は

$\mathbf a \times \mathbf b = \left( \frac{1}{2} \varepsilon_{ijk} ( \mathbf a \circ \mathbf b)_{jk} \right)$

とも表せる。ε_ijk はエディントンのイプシロン。