ハウスホルダー変換

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ハウスホルダー変換(- へんかん、Householder transformation)は直交変換の一種であり、行列のQR分解に用いられる。鏡映変換、基本直交変換ともいう。ハウスホルダーが1958年に発表した。

定義[編集]

n 次元ユークリッド空間のノルムが等しい2つの列ベクトル x, y に対し、変換

z \mapsto (I-\frac{2(x-y)(x-y)^\mathrm{T} }{||x-y||^2}) z

xy に、yx に移すような、ベクトルのノルムを変えない線形変換(直交変換)になっている。ただし、 In 次単位行列である。一般に、ベクトル u に対し行列

H = I-\frac{2uu^\mathrm{T} }{||u||^2}

u に関するハウスホルダー行列といい、H で表される線形変換をハウスホルダー変換あるいは鏡映という。H_uu に直交する超平面に関する鏡映を表す。

上の式で uu^\mathrm{T} となっている部分は u が列ベクトルなのでこのままでは計算できないが、ベクトル z に作用させるときには内積により uu^\mathrm{T} z = u (u, z) となることに注意。行列の具体的な成分については鏡映を参照のこと。

性質[編集]

ハウスホルダー行列 H転置行列H^\mathrm{T}=H^{-1}=H を満たすので対称行列かつ直交行列である。これらの性質から H^2=I となるのでハウスホルダー変換は対合である。幾何的には鏡映を2回繰り返すと元に戻ることに対応している。


QR分解の計算にハウスホルダー変換が使われることがある。

参考文献[編集]

  • Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947

関連項目[編集]