単位行列

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数学、特に線型代数学において、単位行列(たんいぎょうれつ、identity matrix)とは、単位的環上で定義される同じ正方行列同士の、積演算における単位元のことである。

構成[編集]

単位行列はその対角成分に 1 が並び、他は全て 0 となる。行列要素を aij とすると次のように書ける。

a_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1 & (i=j)\\ 0 & (i \ne j) \end{matrix}\right.

ただし、1, 0 は係数環の単位元と零元である。

\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}

表記法[編集]

n×n 行列の単位元は EnIn と記述されることが多い。それぞれ、Elementary, Identity の頭文字である[要出典]。混乱の恐れがないときには、単に EI とも書かれる。

対角行列の記法を用いて In = diag(1,1,1, ... ,1) と書ける。

クロネッカーのデルタを用いると、En = (δij) と表すことが出来る。

性質[編集]

スカラー行列との関連[編集]

単位行列をスカラー倍したものをスカラー行列という。スカラーにスカラー行列を対応させる写像が単射ならば、係数環は行列(線型代数群)あるいは行列環に部分群・部分環として埋め込まれ、係数環の中心は行列群あるいは行列環の中心に入る。特に可換体上の n 次全行列環の中心は、埋め込まれた係数体そのもので、これを全行列環は係数体上中心的であるという。