単位行列

数学、特に線型代数学において、単位行列（たんいぎょうれつ、identity matrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。単位行列の対角成分には 1 が並び、他は全て 0 となる:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$

ただし、1, 0 は係数環の単位元と零元である。 n×n 行列の単位元は E_n や I_n と記述されることが多い。それぞれ、Elementary, Identity の頭文字である。混乱の恐れがないときには、単に E や I とも書かれる。

単位行列は対角行列の一種で、要素 a_ij は次の性質を満たす；

$a_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1 & (i=j)\\ 0 & (i \ne j) \end{matrix}\right.$

クロネッカーのデルタを用いると、E_n = (δ_ij) と表すことが出来る。

単位行列をスカラー倍したものをスカラー行列という。スカラーにスカラー行列を対応させる写像が単射ならば、係数環は行列群（線型代数群）あるいは行列環に部分群・部分環として埋め込まれ、係数環の中心は行列群あるいは行列環の中心に入る。特に可換体上の n 次全行列環の中心は、埋め込まれた係数体そのもので、これを全行列環は係数体上中心的であるという。