対角行列

数学、特に線型代数学において、対角行列（たいかくぎょうれつ, diagonal matrix）とは、正方行列であって、その対角成分（$(i,i)$-要素）以外が零であるような行列のことである。

$\begin{pmatrix} c_1 &&&0\\ & c_2 &&\\ && \ddots &\\ 0&&&c_n \end{pmatrix}$

この対角行列は、クロネッカーのデルタを用いて (c_iδ_ij) と表現できる。また、しばしば

diag(c₁, c₂, ..., c_n)

のようにも書かれる。

単位行列やスカラー行列は対角行列の特殊例である。

対角行列の行列式は、各対角成分の総乗 ∏ c_i に等しい。 対角行列の行列式は、対角成分が等しい上三角行列、下三角行列の行列式とも等しくなる。 対角行列の転置行列は同一である。そのため対角行列は対称行列でもある。

例

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 10 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -8 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$

関連項目

• 対角化
• 巡回行列