対角行列

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数学、特に線型代数学において、対角行列(たいかくぎょうれつ、diagonal matrix)とは、正方行列であって、その対角成分((i,i)-要素)以外が零であるような行列のことである。

 \begin{pmatrix}
  c_1 &&&0\\ & c_2 &&\\ && \ddots &\\ 0&&&c_n
\end{pmatrix}

この対角行列は、クロネッカーのデルタを用いて (ci δij ) と表現できる。また、しばしば

diag (c1 , c2 , ... , cn )

のようにも書かれる。

単位行列スカラー行列は対角行列の特殊例である。

性質[編集]

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\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{pmatrix}


\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 10 & 0 & 0\\
0 & 0 & -8 & 0\\
0 & 0 & 0 & 7
\end{pmatrix}

三重対角行列[編集]

三重対角行列(さんじゅう-、tridiagonal matrix)とは、主対角線とその上下に隣接する対角線にだけ非零の成分を持つ行列である[1]

\begin{bmatrix}
   {b_1} & {c_1} & {   } & {   } & { 0 } \\
   {a_2} & {b_2} & {c_2} & {   } & {   } \\
   {   } & {a_3} & {b_3} & \ddots & {   } \\
   {   } & {   } & \ddots & \ddots & {c_{n-1}}\\
   { 0 } & {   } & {   } & {a_n} & {b_n}\\
\end{bmatrix}

数値解析においてしばしば三重対角行列を含む方程式が現れる。このような方程式はトーマスアルゴリズムあるいは三重対角行列アルゴリズム英語版 (TDMA) と呼ばれる、計算量のオーダーがO (n ) の解法を用いて解かれる。

与えられた行列を三重対角行列に変換する方法(三重対角化)には、ハウスホルダー変換ランチョス法が知られている。

参考文献[編集]

  1. ^ Joel H. Ferziger; Milovan Perić; 小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠訳 『コンピュータによる流体力学』 シュプリンガー・フェアラーク東京、2003年、91頁。ISBN 4-431-70842-1 

関連項目[編集]