行列

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行列

数学において、行列（ぎょうれつ、英語：matrix）とは、ある固定された環の元を矩形（長方形）状に並べたものである。特に、すべての成分が実数の行列を実行列、すべての成分が複素数の行列を複素行列という。

同じサイズの行列の集合はアーベル群の構造を持ち、更に同じサイズの正方行列全体はひとつの環をなすので、行列の集合それ自体が代数学の対象である。また、行列は線形写像の表示手段として数学の様々な場面で現れ、数学を道具とする自然科学や工学の各分野でも基本的な道具としての位置を占める。

行列の起源は連立一次方程式の解法にある。例えば、加減法とも呼ばれる方程式の解法を定式化したものとして行列の基本変形や、それによるガウスの消去法などのアルゴリズムが挙げられる。これは三角化・対角化や逆行列の計算などに広範に適用できる。

目次

[編集] 歴史

線型方程式の解法における応用に関して、行列は長い歴史を持つ。紀元前300年から紀元200年の間に書かれた中国の書物『九章算術』は連立方程式の解法に行列を用いた最初の例であるといわれ[1]、それには行列式の概念が、日本の関が1683年に[要出典]、ドイツのライプニッツが1693年にそれぞれ独立に著すよりも実に1000年以上も前に扱われていた。クラメルが有名な公式を生み出すのは1750年のことである。

行列論の初期においては、行列よりも行列式のほうに非常に重きが置かれており、行列式から離れて現代的な行列の概念と同種のものが浮き彫りにされるのは1858年、ケイリーの歴史的論文 Memoir on the theory of matrices（「行列論回想」）においてである[2][3]。用語 "matrix"（ラテン語で「生み出すもの」の意味の語 "womb" に由来）[4]はシルベスターが導入した。シルベスターは行列を、（今日小行列式と呼ばれる）もとの行列から一部の行や列を取り除いて得られる小行列の行列式として、たくさんの行列式を生じるものとして理解していた[5]。1851年の論文でシルベスターは

I have in previous papers defined a "Matrix" as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent. （以前の論文で、項を矩形状に並べた配列として定義した "Matrix" は、そのうちで異なる行列式の体系を生み出す共通の親としての母体である。）

と説明している[6]。 行列式の研究はいくつかの流れから生じてきたものである[7]。数論的な問題はガウスが二次形式（つまり、x2 + xy − 2y2 のような数式）の係数と三次元の線型写像を行列に結び付けたことに始まり、アイゼンシュタインがこれらの概念をさらに進めて、現代的な用語でいえば行列の積が非可換であることなどを指摘した。コーシーは行列 A = (aij) の行列式として、多項式

a_1 a_2 \cdots a_n \prod_{i < j} (a_j - a_i)

（ここで ∏ は条件を満たす項の総乗を表す）の冪 ak
j を ajk で置き換えたものという定義を採用し、それを用いて行列式についての一般的な主張を証明した最初の人である。コーシーは1829年に、対象行列の固有値が全て実数であることも示している[8]。ヤコビは、幾何学的変換の局所的あるいは無限小のレベルでの挙動を記述することができる函数行列式（後にシルベスターが「ヤコビ行列式」と呼んだ）の研究を行った。クロネッカーの Vorlesungen über die Theorie der Determinanten[9] とワイエルシュトラスの Zur Determinantentheorie[10] はともに1903年に出版された。前者は、それまでのコーシーの用いた公式のような具体的な手法とは反対に、行列式を公理的に扱ったものである。これを以って、行列式の概念がきっちりと確立されたと見なされている。

多くの定理は、初めて確立されたときには小さいサイズの行列に限った主張として示された。例えばケーリー＝ハミルトンの定理は、ケイリーが先述の回想録において 2 × 2 行列に対して示し、ハミルトンが 4 × 4 行列に対して証明して、その後の1898年にフロベニウスが双線型形式についての研究の過程で任意次元に拡張した。また、19世紀の終わりに、（ガウスの消去法として今日知られるものを特別の場合として含む）ガウス＝ジョルダン消去法をジョルダンが確立し、20世紀の初頭には行列は線型代数学の中心的役割を果たすようになった[11]。前世紀の超複素数系の分類にも行列の利用が部分的に貢献した。

ハイゼンベルグ、ボルン、ジョルダンらによる行列力学の創始は、行または列の数が無限であるような行列の研究へ繋がるものであった[12]。後にフォン・ノイマンは、（大体無限次元のユークリッド空間にあたる）ヒルベルト空間上の線型作用素などの函数解析学的な概念をさらに推し進めることにより、量子力学の数学的基礎を提示した。

[編集] 用語

次のような行列 A を考える。

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ \end{pmatrix}

行列 A に並ぶ量 a11, a12, a21, … を行列の成分あるいは要素 (element) と呼ぶ。（係数と呼ぶこともある。） 行列の横方向に並んだ要素を行 (row) と呼び、縦方向に並んだ要素を列 (column) と呼ぶ。行列の i 行目、j 列目の要素を特に行列の (i, j) 要素と呼ぶ。例えば上記行列 A の (1,2) 要素は a12 である。

行列に含まれる行の数が m、列の数が n である時に、その行列を m 行 n 列行列や m×n 行列と呼ぶ。行列を構成する行の数と列の数を合わせて型という。したがってm 行 n 列行列のことを (m, n) 型行列などと呼ぶこともある。 要素を環 R に持つ行列のことを R 上の行列という。

行列 A の i 行目の成分だけを並べたベクトル（第 i 行ベクトル）を ai = ( ai1, ai2, ai3,ai4) とすれば、行列 A は、

A = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1\\ \mathbf{a}_2\\ \mathbf{a}_3\\ \end{pmatrix}

と表現できるので、行列はベクトルを並べたものと考えることもできる。同様に第 j 列成分のみを並べてできるベクトル（第 j 列ベクトル） bj を並べて

A = (\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3, \mathbf{b}_4)

と書くこともできる。

[編集] 行列の和・差

m 行 n 列の行列同士の和（差）を、各要素同士の和（差）と定める。同じ型の行列に対してのみ定義される。異なる型の行列に対しては定義されない。

[編集] 和・差の計算例

A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}

の時に、A + B と A − B は、

A + B = \begin{pmatrix} 5 + 1 & 6 + 2 \\ 7 + 3 & 8 + 4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \\ \end{pmatrix}
A - B = \begin{pmatrix} 5 - 1 & 6 - 2 \\ 7 - 3 & 8 - 4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \\ \end{pmatrix}

[編集] 行列の積

行列の積を初めて定義したのはアーサー・ケーリーである。

l × m 行列 A と m × n 行列 B の積は l × n 行列となり、C = AB の (i, j) 成分 cij は、

c_{ij} = \sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}

で与えられる。

n が 1 より大きな時には、n × n 行列 A と B に対して要素同士が可換であっても、一般に AB と BA は等しくならない。

[編集] 積の計算例

A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}

先ほどの例において、AB は、

AB = \begin{pmatrix} 5 \times 1 + 6 \times 3 & 5 \times 2 + 6 \times 4 \\ 7 \times 1 + 8 \times 3 & 7 \times 2 + 8 \times 4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \\ \end{pmatrix}

同様に BA は、

BA = \begin{pmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \\ \end{pmatrix}

となり、AB と BA が等しくないことが見て取れる。

[編集] 計算の効率

[編集] 行列と線型写像

体上の m × n 行列は n 次元数ベクトル空間から m 次元数ベクトル空間への線型写像になっている。逆に有限次元のベクトル空間の間の任意の線型写像は、基底の行き先を見ることで有限のサイズの行列として表すことができる。線型写像としてみると、行列の積は写像の合成になっている。行列の階数は線型写像の像の次元に対応し、転置行列は双対写像に対応している（双対空間を参照）。

もっと一般に、環上の行列を有限生成加群の間の準同型として見ることもできる。

[編集] 種々の行列

[編集] 簡単な分類

[編集] 行列の抽象代数的側面と一般化

行列の一般化の方向性はいくつか異なるものが存在する。抽象代数学では行列の成分をもっと一般の体 や環としたものを用いるし、線型代数学は線型写像の概念を機軸に行列の性質を体系化したものである。また行や列の数を無限に増やした行列というものを考えることもできる。他の拡張としてテンソルは、（行列が矩形状あるいは二次元の数の配列と見ることができるのに対して）数の配列を高次化したものと見ることもできるし、ベクトルの双対や数列として実現することもできるものである[13]。適当な制約条件を満足する行列の集まりは、行列群あるいは線型代数群などと呼ばれる群を成す。

[編集] より一般の成分を持つ行列

しばしば実または複素成分の行列に焦点を当てることもあるが、それ以外にももっと一般の種類の成分を持った行列を考えることができる。一般化の最初の段階として任意の体（すなわち四則演算が自由にできる集合、例えば R, C 以外に有理数体 Q や有限体 Fqなど）を成分として考える。例えば符号理論では有限体上の行列を利用する。どの体で考えるとしても、固有値は多項式の根として考えることができて、それは行列の係数体の拡大体の中に存在する。たとえば、実行列の場合は固有値は複素数である。ある行列の成分をより大きな体の元と解釈しなおすことはできる（例えば実行列を全ての成分が実数であるような複素行列とみることができる）から、そのような十分大きな体の中で任意の正方行列についてその固有値全てから成る集合を考えることができる。あるいは最初から、複素数体 C のような代数閉体に成分を持つような行列のみを考えるものとすることもできる。

もっと一般に、抽象代数学では環に成分を持つ行列というものが甚だ有用である[14]。環は除法演算を持たない点において体よりも一般の概念である。この場合も、行列の加法と乗法はそのまままったく同じ物を使うことができる。R 上の n-次正方行列全体の成す集合 M(n, R) は全行列環と呼ばれる環であり、左 R-加群 Rn の自己準同型環に同型である[15]。環 R が可換環、すなわちその乗法が可換律を満たすならば、全行列環 M(n, R) は（n = 1 でない限り）非可換な R 上の単位的結合多元環となる。可換環 R 上の正方行列の行列式はライプニッツの公式を用いて定義することができて、可換環 R 上の正方行列が可逆であることの必要十分条件をその行列式が R の可逆元であることと述べることができる（これは零元でない任意の元が可逆元であった体の場合の一般化になっている）[16]。超環上の行列は超行列と呼ばれる[17]。

行列の成分が必ずしもすべて同じ環に属するというわけではない（し、すべてが全く別の環に成分を持つというわけでもない）。一つの特別な、しかしよく用いられる場合として、成分自体が行列となっているような行列と見なすこともできる区分行列が挙げられる。その成分は二次元的な行列である必要はないし、また通常の環の元である必要もないが、その大きさに関しては適当な両立条件を満足するものでなければならない。

[編集] 線型写像との関係

線型写像 Rn → Rm は既に述べたように m × n 行列と等価である。一般に有限次元ベクトル空間の間の線型写像 f: V → W は（V の次元を n, W の次元を m として） V の基底 v1, …, vn と W の基底 w1, …, wm を選べば

f(\mathbf{v}_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j} \mathbf{w}_i\quad(j=1,\ldots,n)

を満たす行列 A = (aij) によって記述することができる。言い換えれば、 A の第 j-列は基底ベクトル vj の像を W の基底 {wi} に関して表したものになっている。従ってこのような関係は行列 A の成分から一意的に定まる。注意すべきは線型写像を表す行列は基底の取り方に依存することである。基底の取り方を変えれば別な行列が生じるが、それはもとの行列と同値になる[18]。既に述べた具体的な概念の多くはこの方法を通して解釈しなおすことができる。例えば転置行列 A⊤ は A の定める線型写像の転置写像を、双対基底に関して記述するものである。[19]。

より一般に、m × n 行列全体の成す集合は、勝手な単位的環 R に対して自由加群 Rm および Rn の間の R-線型写像を表すのに利用することができる。n = m のとき、そのような写像の合成を定義することができて、n-次正方行列全体の成す全行列環が、Rn の自己準同型環を表現するものとして生じる。

[編集] 行列群

詳細は「線型代数群」を参照

群というのは集合と二項演算（つまり、任意の二つの対象を結合して第三の対象を作る操作）からなる数学的構造で、適当な条件を満たすものである。行列をその元とし、行列の積を群演算とするような群は、行列群または線型代数群と呼ばれる[nb 1][20]。群の任意の元は可逆であるから、最も一般の行列群は与えられたサイズの可逆行列全体の成す群 GLn であり、一般線型群と呼ばれる。

行列の性質のうちで積と反転に関して保たれるものを用いると、さらに別の行列群を定義することもできる。例えば、与えられたサイズの行列式が 1 であるような行列の全体は、同じサイズの一般線型群に含まれる部分群となり、特殊線型群 SLn と呼ばれる[21]。また、条件

M⊤M = I

で定まる直交行列の全体は直交群 O(n) を成す[22]。「直交」の名は、対応する Rn の線型変換が、M を掛ける操作で二つのベクトルの内積を変えない

(Mv) · (Mw) = v · w

という意味で角を保つことに由来する[23]。 任意の有限群は何らかの行列群同型である。なんとなれば対称群の正則表現を考えればよい[24]。故に、表現論の意味で、一般の群を比較的よくわかっている行列群を用いて調べることができる。

[編集] 無限次行列

行または列の数を無限にした行列と呼べるようなものも考えることができる[25]が、そのようなものを陽なかたちに書き記すことはできないので、行を添字付ける集合と列を添字付ける集合を用意して（添字集合は必ずしも自然数から成るものでなくてよい）、それらの各元に対して行列の成分が矛盾無く定義されるという方法で扱うことになる。このとき、和・差、スカラー倍、転置といった基本演算については問題なく定義されるが、行列の乗法に関してはその成分が無限和として与えられることになり、これは（適当な制約条件を抜きにしては）一般には定義されない。

R を任意の単位的環とすれば、右 R-加群としての \textstyle M=\bigoplus_{i\in I}R の自己準同型環は、I × I で添字付けられ、各列の非零成分の数が有限個であるような列有限行列の環 CFMI(R) に同型である。これと対応するものとして、左 R-加群としての M の自己準同型環を考えれば、同様に各行の非零成分の数が有限な行有限行列の環 RFMI(R) が得られる。

無限次元行列を線型写像を記述するのに用いるならば、次に述べるような理由から、その各列ベクトルが有限個の例外を除いて全ての成分が 0 となるものとならなければ無用である。A が適当な基底に関して線型写像 f: V → W を表現するものとすると、それは定義により、空間の任意のベクトルを基底ベクトルの（有限）線型結合として一意に表すことによって与えられるのであるから、従って（列）ベクトル v の成分 vi で非零となるものは有限個に限られる。また、A の各列は V の各基底ベクトルの f による像を W の基底に関して表したものとなっているから、これが意味を持つのはこれらの列ベクトルの非零成分が有限個である場合に限る。しかし一方で、A の行に関しては何の制約もない。事実、v の非零成分が有限個であるならば、積 Av はその各成分が見かけ上無限和の形で与えられるとしても、実際にはそれは非零の項が有限個しかないから、間違いなく決定することができる。さらに言えば、これは A の実質的に有限個の列の線型結合を成すことになり、また各列の非零成分は有限個だから結果として得られる和も非零成分が有限個になる。（通常は、行と列が同じ集合で添字付けられるような）与えられた型の二つの行列の積は矛盾無く定義できて、もとと同じ型を持ち、線型写像の合成に対応することも確認できる。

R がノルム環ならば、行または列に関する有限性条件を緩めることができる。すなわち、有限和の代わりに、そのノルムに関する絶対収斂級数を考えればよい。例えば、列和が絶対収斂列となるような行列の全体は環を成す。もちろん同様に、行和が絶対収斂列となるような行列の全体も環を成す。

この文脈では、収斂して連続的な問題を生じ、適当な制約条件を満たすような無限次行列はヒルベルト空間上の作用素を記述するものとして利用することができる。しかし、このようなやり方は行列としての陽な観点は曖昧になりがち[nb 2]であり、むしろその代わりに函数解析学の抽象的でより強力な手法が利用できる。

[編集] 空行列

空行列は行または列（あるいはその両方）の数が 0 であるような行列をいう[26][27]。零ベクトル空間を含めて写像を考える場合に、空行列は役に立つ。例えば、A が 3 × 0 行列で B が 0 × 3 行列ならば、積 AB は三次元空間 V からそれ自身への空写像に対応する 3 × 3 零行列である。空行列を表す記号というのは特に定まってはいないが、多くの計算機代数システムでは空行列を作成したり空行列に関する計算をしたりすることができる。0 × 0 行列の行列式は 1 と定義される。これは行列式に関するライプニッツの公式（置換に関する和として表す公式）が空積となり、それは通常 1 であることによる。またこのことは、任意の有限次元空間における恒等変換（に対応する行列）の行列式が 1 であるという事実とも整合する。

[編集] 脚注

  1. ^ Shen, Crossley & Lun 1999 cited by Bretscher 2005, p. 1
  2. ^ Cayley 1889, vol. II, p. 475–496
  3. ^ Dieudonné, ed. 1978, Vol. 1, Ch. III, p. 96
  4. ^ Merriam–Webster dictionary, Merriam–Webster, http://www.merriam-webster.com/dictionary/matrix April, 20th 2009..閲覧。 
  5. ^ OEDによれば、数学用語としての "matrix" の最初の用例は J. J. Sylvester in London, Edinb. & Dublin Philos. Mag. 37 (1850), p. 369: "We ‥commence‥ with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants by fixing upon a number p, and selecting at will p lines and p columns, the squares corresponding to which may be termed determinants of the pth order.
  6. ^ The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, Paper 37, p. 247
  7. ^ Knobloch 1994
  8. ^ Hawkins 1975
  9. ^ Kronecker 1897
  10. ^ Weierstrass 1915, pp. 271–286
  11. ^ Bôcher 2004
  12. ^ Mehra & Rechenberg 1987
  13. ^ Coburn 1955, Ch. V
  14. ^ Lang 2002, Chapter XIII
  15. ^ Lang 2002, XVII.1, p. 643
  16. ^ Lang 2002, Proposition XIII.4.16
  17. ^ Reichl 2004, Section L.2
  18. ^ Greub 1975, Section III.3
  19. ^ Greub 1975, Section III.3.13
  20. ^ Baker 2003, Def. 1.30
  21. ^ Baker 2003, Theorem 1.2
  22. ^ Artin 1991, Chapter 4.5
  23. ^ Artin 1991, Theorem 4.5.13
  24. ^ Rowen 2008, Example 19.2, p. 198
  25. ^ See the item "Matrix" in Itõ, ed. 1987
  26. ^ "Empty Matrix: A matrix is empty if either its row or column dimension is zero", Glossary, O-Matrix v6 User Guide
  27. ^ "A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix", MATLAB Data Structures
  1. ^ 普通はさらに一般線型群の閉集合となることも要求する。
  2. ^ "Not much of matrix theory carries over to infinite-dimensional spaces, and what does is not so useful, but it sometimes helps." Halmos 1982, p. 23, Chapter 5

[編集] 参考文献

[編集] 物理学に関するもの

  • Bohm, Arno (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, ISBN 0-387-95330-2 
  • Burgess, Cliff; Moore, Guy (2007), The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86036-9 
  • Guenther, Robert D. (1990), Modern Optics, John Wiley, ISBN 0-471-60538-7 
  • Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980), Quantum Field Theory, McGraw–Hill, ISBN 0-07-032071-3 
  • Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (1997), Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55506-X 
  • Schiff, Leonard I. (1968), Quantum Mechanics (3rd ed.), McGraw–Hill 
  • Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7 
  • Wherrett, Brian S. (1987), Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, Prentice–Hall International, ISBN 0-13-365461-3 
  • Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (2006), Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-4530-1 

[編集] 歴史に関するもの

[編集] 関連項目

[編集] 外部リンク

歴史
オンライン本
オンラインの行列計算器

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