行列の定値性

行列の定値性(ぎょうれつのていちせい、英: Definiteness)とは、次の二次形式の値の範囲により決まる対称行列(またはエルミート行列)の区分のこと。なお、対称行列(またはエルミート行列)ではない行列には適用されない。

定義

A をN×Nの対称行列(またはエルミート行列)とし、任意のベクトルx(ただしx≠0)に対して行列の二次形式が

$\langle x, Ax \rangle = x^T A x > 0$　ならば正定値 (英語: positive definite) または正値

$\langle x, Ax \rangle = x^T A x \ge 0$　ならば半正定値 (英語: positive semidefinite) または非負値 (英語: non-negative definite)

$\langle x, Ax \rangle = x^T A x < 0$　ならば負定値 (英語: negative definite)

$\langle x, Ax \rangle = x^T A x \le 0$　ならば半負定値 (英語: negative semidefinite) または非正値

上記のいずれでもなく正にも負にもなる場合を不定値 (英語: indefinite)

という。

なお、エルミート行列の場合は x^*Ax の値に関しての判定となる。ここで*は随伴作用素。

表記法

行列 A の定値性を次の記号を用いて表現することがある。

定値性の表記法

定値性	正定値	半正定値	負定値	半負定値
表記法	A > 0	A ≧ 0	A < 0	A ≦ 0

性質

固有値との関係

行列の定値性は固有値の符合と関係している。「すべての固有値の符合」がわかれば定値性がわかり、 逆に定値性がわかれば「すべての固有値の符合」が正なのか負なのか正負混じっているのかなどがわかる。

1. 対称(エルミート)行列 A のすべての固有値λが正値 　λ > 0 ⇔ 行列 A は正定値行列
2. 対称(エルミート)行列 A のすべての固有値λが負値 　λ < 0 ⇔ 行列 A は負定値行列

(証明)行列 A の固有値をλ、固有ベクトルを e とする。 固有値と固有ベクトルの関係から Ae = λe なので e^TAe = e^Tλe = λ||e||² 。すべての固有値に対してこれが正あるいは負が成り立つので、すべての固有値の符合は定値性により決まる。 一方、任意のベクトルx(x≠0)は固有ベクトルを用いてx=Σc_ie_iと書け、 x^TAx = Σλ_i||c_ie_i||² よって、すべての固有値の符合が正か負かにより定値性が決まる。

逆行列との関係

1. 対称(エルミート)行列 A が正定値なら 行列 A は正則で 逆行列 A^-1 も正定値。
2. 対称(エルミート)行列 A が負定値なら 行列 A は正則で 逆行列 A^-1 も負定値。

行列式との関係

1. 対称(エルミート)行列 A が正定値なら det( A) > 0

(証明) det(A) = Πλ_i

半正定値行列

• 半正定値行列には半正定値の平方根行列が1つだけ存在する。
• 行列 A = X X^* , X∈M^{m x n}(RまたはC) は常に半正定値行列。この形の行列は共分散行列と呼ばれることがある。

(証明) 行列 A の固有値をλとすると Ay = X X^* y = λy よって、y^*Ay = y^* X X^* y = (X^* y)^* X^* y = ||X^* y||² ≧ 0

幾何的解釈

ベクトル x とベクトル A x のなす角をθとすると

x^TA x = ||x^T|| ||A x|| cosθ

正負はcosθの値によって決まることがわかる。 また、この角度θは、行列 A によりベクトル x がどのくらい回転するのかをあらわしており、 -π/2 < θ < π/2 の範囲なら正定値となる。

関連項目

詳細は、

• 対称行列#二次形式 および 対称行列#正値対称行列
• エルミート行列#エルミート形式・複素二次形式 および エルミート行列#正定値エルミート行列
• 固有値#正定値と半正定値
• 内積#定義

を参照のこと。

• スペクトル理論
• コレスキー分解