部分群

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群論
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群論

二項演算 * に関して群 G が与えられたとする。 G の部分集合である HG部分群であるということは、 H が演算 * に関して群になるということである。より正確に表現すると、 HG の部分群であるということは、群の演算 * を H×H (Hの直積)に制限したときに、 H における群の演算になっているということである。この関係は通常、 HG という記号で表現し、「 HG の部分群である」と読む。

G真部分群とは、部分群 HG真部分集合である(つまり HG である)ことである。任意の群 G に対し、G 自身と単位元のみからなる集合 {e} は常に G の部分群である。 HG の部分群であるとき、 GH の拡大群であると表現する場合がある。

G が任意の半群であるときも、G の部分群の定義はそのまま通用するが、本項では群の部分群についてのみを扱うにとどめる。群 G は順序対 (G, ∗) として記述されることもあるが、このように書くのは普通、G を台となる集合としてその上に演算 "∗" が代数的構造(あるいはもっとほかの構造)を定めるということを強調するためである。

以下では、通常の慣習に倣って ∗ を省略し、積 ab を単に ab と表記する。また、群の演算を単に「積」と表記する場合もある。

部分群の基本的な性質[編集]

  • H が群 G の部分群であるということは、 H が空集合ではなく、演算と逆元に対して閉じているということを意味する(「閉じている」というのは「 H に含まれる任意の元 a および b について、 ab および a−1H に含まれる」ということである。なおこの2つの条件は、同値な1つの条件にまとめることができる。「 H に含まれる任意の元 a および b について、 ab−1H に含まれる」という条件である)。 H が有限集合の場合、 H が部分群であるということは、 H が積に関して閉じているということと同値である(この場合、 H の任意の元は、 H の有限巡回部分群を生成する。そして a の逆元は、 a の位数が n ならば a−1 = an − 1 となる)。
  • 上記の条件は準同型の言葉で書き換えることができる。つまり HG の部分群となる必定十分条件は、HG の部分集合で、H から G への包含写像(任意の aH に対して i(a) = a となる写像)が準同型を与えることである。
  • 部分群の単位元は群の単位元と等しい。つまり、GeG を単位元とする群で、HeH とする G の部分群ならば eH = eG でなければならない。
  • 部分群のある元の逆元は、もとの群におけるその元の逆元と等しい。つまり H が群 G の部分群であり、a, bH の元で ab = ba = eH を満たすならば ab = ba = eG が成り立つ。
  • 部分群 AB共通部分はまた部分群になる。一方、部分群 AB和集合が部分群になるのは、 AB の一方が他方を包含している場合のみに限られる[1]。たとえば、2 と 3 はともに加法群としての 2Z と 3Z の和集合に含まれるが、それらの和である 5 はこの和集合には属さない。別の例では、平面上のX軸とY軸(加法について考える)がある。それぞれは部分群をなすが、それらの和集合は部分群にならない。ついでながら、これら二つの部分群の共通部分は、単位元である原点のみの部分群となる。
  • SG の部分集合ならば S を含む最小の部分群が存在する。これは S を含む部分群すべての共通部分をとることによって求められる。これを記号 〈S〉 で表し、「 S から生成される部分群」とよぶ。 G のある元が 〈S〉 に含まれるという事は、その元は S の元および S の元の逆元の有限個の積で表されるという事である。
  • G の任意の元 a巡回群a〉 を生成する。 〈a〉 が適当な正の整数 n に対する Z/nZ同型であるならば、nan = e を満たす最小の正整数である。この na位数 (order) という。もし 〈a〉 が Z と同型ならば、 a は無限位数を持つ、あるいは a の位数は無限大であるという。
  • 与えられた群の部分群全体の成す集合は、包含関係に関して完備束になる。これを部分群の束と言う(この束の下限は通常の集合論的な意味での共通部分だが、上限は集合論的な意味での和集合ではなく、それから生成される部分群である)。G の単位元を e と書けば、単位群 {e} が G の最小の部分群であり、また最大の部分群は G そのものである。

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可換群 G をその元が

G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}

で与えられ、8を法とする加法を群演算とするものとする。その乗積表は以下のようになる。

+ 0 2 4 6 1 3 5 7
0 0 2 4 6 1 3 5 7
2 2 4 6 0 3 5 7 1
4 4 6 0 2 5 7 1 3
6 6 0 2 4 7 1 3 5
1 1 3 5 7 2 4 6 0
3 3 5 7 1 4 6 0 2
5 5 7 1 3 6 0 2 4
7 7 1 3 5 0 2 4 6

この群は、二つの自明でない群を持つ。 J = {0, 4} および H = {0, 2, 4, 6} である。 J はまた H の部分群にもなっている。 H の群表は、 G の群表の左上1/4の部分である。 G巡回群であり、また部分群も巡回群である。一般に、巡回群の部分群はやはり巡回群になる。

剰余類とラグランジュの定理[編集]

G に関し、部分群 H と元 a が与えられたとする。このとき剰余類をこのように定義する: aH = {ah : h in H} 。 a は可逆元であるため、 φ(h) = ah で与えられる写像 φ : HaH は全単射である。さらに、 G の任意の元は、 H の左剰余類のどれか1個のみに含まれる。H に関する左剰余類は、「 a1a2 となるのは a1−1a2H に属するとき、かつそのときに限る」という同値関係から定まる同値類である。H の左剰余類の個数を、 G における H指数英語版と言い、 [G : H] で表す。

ラグランジュの定理により、有限群 G とその部分群 H について以下のことが言える。

 [ G : H ] = { |G| \over |H| }

|G| と |H| はそれぞれ GH の位数を表す。特に、 G の任意の部分群の位数(および G の任意の元の位数)は、 |G| の約数である。

右剰余類も同様にして定義できる。: Ha = {ha : h in H} 。これもまた、適切な同値関係を適用する事によって同値類になる。その個数は [G : H] である。

G に含まれるすべての a について aH = Ha であるとき、 H正規部分群と言う。指数 2 の部分群は必ず正規部分群である(実際、部分群 H の指数が 2 であるということは、H に関する左剰余類の全体も右剰余類の全体もともに、部分群 H とその補集合で尽くされる)。より一般に、有限群 G の位数の約数の最小の素数 p に対して、指数 p の部分群は(存在すれば)正規である。

脚注[編集]

  1. ^ Jacobson (2009), p. 41

参考文献[編集]

関連項目[編集]