シローの定理

群論において、シローの定理（Sylow theorems）は、有限群の構造に関する定理である。シローの定理により、有限群の位数から部分群の存在などの情報が得られる。

[編集] シロー p-部分群

p を素数とする。位数が、p のべき乗であるような群をp-群といい、p-群であるような部分群をp-部分群という。特に位数が最大のp-部分群のことをシロー p-部分群という。シロー p-部分群の集合をSyl_p(G)と書くこともある。

群Gの位数が $|G|=p^ar$ (ただし、rはpで割りきれない)とすれば、シロー p-部分群の位数は $p^a$ である。

シローの定理は、ルートヴィヒ・シローが、1872年発表した^[1]。

有限群Gの位数が、p で割り切れるとき、Gの位数は(pⁿ · s)とかける。ただしここで、n は、正の整数、s と p は互いに素。

定理1

位数 pⁿ のシロー p-部分群が存在する。

定理2

全てのシロー p-部分群は共役である。つまり、H と K がシロー p-部分群ならば、g⁻¹Hg = K を満たす g が存在する。

定理3

シロー p-部分群の数、すなわち|Syl_p(G)|を、n_p とするとき