整数

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整数（せいすう、英: integer, whole number, 独: Ganze Zahl, 仏: nombre entier）とは、0 とそれに 1 ずつ加えていって得られる自然数 (1, 2, 3, …) および 1 ずつ引いていって得られる数 (−1, −2, −3, …) の総称である。

整数の全体からなる集合は普通、太字の Z または黒板太字の $\mathbb{Z}$ で表す。これはドイツ語 Zahlen（「数」の意・複数形）に由来する。

代数的数論ではしばしば「代数体の整数環」の元という意味で代数的整数あるいは「整数」という言葉を用いる。有理数全体の成す体はそれ自身が代数体の最も簡単な例であり、有理数体の代数体としての整数環すなわち、「有理数の中で整なもの」の全体の成す環は、本項でいう意味での整数全体の成す環である。一般の「整数」との区別のためにここでいう意味の整数を有理整数 (rational integer) と呼ぶことがある^{[note 1]}。

[編集] 素朴な説明

「もの」の個数という素朴な意味で理解される自然数の中では、足し算と掛け算は自由にできるが、引き算については「引かれる数が引く数よりも大きい」という前提を満たさねばならず、その意味では自由ではない。これを自由に行うために「負の整数」を導入して、数の範囲を拡張しようというのが整数の概念である。すなわち、

a + x = b

の形の方程式は、a, b が整数ならば必ずただひとつの解を持つ。

自然数を「正の整数」とし、自然数 n に対して加法に関する逆元 −n を導入し、これを「負の整数」とする。「正の整数」「0」「負の整数」をあわせた数の中で普通に足し算・引き算・かけ算ができるように、また、「正の整数」に対する演算はもともとの自然数としてのそれであるように加法と乗法を定義することができる（足し算引き算を包摂して「加法」と呼んでいる）。

a − b = a + (−b)

	加法	乗法
	a + b は整数	a × b は整数
結合性	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
可換性	a + b = b + a	a × b = b × a
単位元	a + 0 = a	a × 1 = a
逆元	a + (−a) = 0	±1 × ±1 = 1 （それ以外は逆元無し）

分配性	a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
零因子がない	a × b = 0 ならば a = 0 または b = 0

例えば負の数同士の積が正となるという

(−a) × (−b) = a − b

は、整数の全体が環 (数学)であることを用いれば、x を任意の整数とするとき、逆元の一意性による −(−x) = x と 0 が吸収元すなわち x × 0 = 0 = 0 × x = 0 となることなどを使って証明できる。

[編集] 代数構造

整数の全体 Z は加法に対してアーベル群であり、1 の生成する無限巡回群 Z = 〈1〉 である。

$n = \Bigg\{\begin{align} &\overbrace{\,1 + 1 + \cdots + 1\,}^{n \text{ times}} & (n > 0) \\ &0 & (n = 0) \\ &\underbrace{\!(-1) + \cdots + (-1)\!}_{|n| \text{ times}} & (n < 0) \end{align}$

乗法に関しては可換なモノイドをなす。ゆえに、整数の全体は単位的可換環であり、整数環と呼ばれる。整数環 Z は零因子を持たない単位的可換環ゆえに整域である。逆元を持つ整数は {±1} の二つだけであり、Z から 0 を除いた集合は除法について閉じていないので、Z は体にならない。

Z は代表的なユークリッド整域である。特に x と y の最大公約数が d のとき、ax + by = d を満たす整数 a, b が存在することはユークリッドの互除法などにより保証され

(x) + (y) = (d)

が成り立つから、Z が単項イデアル整域であることがわかる。

[編集] 順序構造

… < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < …

となる全順序は

a < b かつ c < d ならば a + c < b + d,
a < b かつ 0 < c ならば ac < bc

が成り立つという意味で Z の環構造と両立し、Z は順序環となる。0 より大きな元は「正」、0より小さな元は「負」である。正の整数全体 N は、任意の整数 x に対し x または −x が N に属するという意味で Z の賦値環である。

[編集] 形式的な構成

格子点と整数との対応

自然数の全体 N は減法について閉じていないが、上ではそれを補完するものとして負の整数を導入し、整数の全体 Z を構成した。それと本質的には変わらないが、よく知られる方法^[1]としてここでは、減法を陽に持ち出さずに、自然数の加法と乗法のみから同値関係や商集合といった道具を使って、整数が形式的かつ厳密に構成できることを記しておく。^{[note 2]}

まず、直積集合 N² = N × N = {(a, b) | a, b は自然数} を考えよう^{[note 3]}。N² に同値関係 ∼ を

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c

と定義することができる。ここで、N² を同値関係 ∼ で類別した集合（商集合）N²/∼ を考える。これは、互いに同値なもの全体の集合（同値類）を元とするような集合であり、直観的には互いに同値であるようなものを同一視する操作である。(a, b) ∈ N² の属する同値類を [a, b] ∈ N²/R と表すことにする。つまり、[a, b] は

[a, b] = {(c, d) ∈ N² | (a, b) ∼ (c, d)}

となる集合である。同値類を [a, b] のように表したとき、(a, b) をこの同値類の代表元と呼ぶ。代表元は同値なものでありさえすれば他のものに取り替えることができる^{[note 3]}。商集合 N²/∼ に加法 + と乗法 × を

[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]

[a, b] × [c, d] = [ac + bd, ad + bc]

と定義すると、これらは代表元の取り方によらずに、同値類同士の演算としてうまく定義されていることが確かめられる^{[note 3]}。

このとき、[a, b] + [m, m] = [a + m, b + m] = [a, b] だから、R = {(m, m) | m ∈ N} は N²/∼ の加法に関する単位元である。また、自然数 m に対して [m + 1, 1] を対応させる写像は単射で

[m + 1, 1] + [n + 1, 1] = [m + n + 2, 2] = [(m + n) + 1, 1],

[m + 1, 1] × [n + 1, 1] = [(m + 1)(n + 1) + 1, (m + 1) + (n + 1)] = [mn + 1, 1]

を満たす（準同型）ので N は N²/∼ に演算まで込めて埋め込める。記号の濫用ではあるが、自然数 m を埋め込んだ先と同一視して m = [m + 1, 1] と書くことにし、これを（正の）整数 m と呼ぼう。

同様の埋め込みは、自然数 m に対して [1, m + 1] を対応させることでも得られるが和と積は

[1, m + 1] + [1, n + 1] = [1, (m + n) + 1],

[1, m + 1] × [1, n + 1] = [1 + (m + 1)(n + 1), (m + 1) + (n + 1)] = [mn + 1, 1]

になる。自然数 m に対し、新たな記号 −m を [1, m + 1] を表すものとして導入し、これを負の整数 −m と呼ぼう。負の整数同士の積が正の整数になっていることが確認できる。

このとき、m + (−m) = [m + 1, 1] + [1, m + 1] = [m + 2, m + 2] = R だから、負の整数 −m = [1, m + 1] は N²/∼ においてはちょうど、正の整数 m = [m + 1, 1] の加法に関する逆元になっている。R をあらためて 0 と書くことにして、N²/∼ = {m, 0, −m | m ∈ N} を整数全体の集合とよび、あらためて Z と書くことにしよう。

このようにして整数の全体 Z が厳密に定義されが、なお定義に従えば Z において結合法則や分配法則などの環の公理が満たされることがきちんと証明できる。

[編集] 一般化

二次の整数
- ガウス整数
- アイゼンシュタイン整数

[編集] コンピュータにおける整数表現

詳細は「整数型」を参照

コンピュータの内部では電気的な信号の有無を 1 と 0 に割り当て、2進法を用いて整数を表現するのが基本である。通常は、2 バイト（16 ビット）または 4 バイト（32 ビット）の範囲で表現できる範囲の数を扱う。負の値を扱う場合は、2の補数表現などが用いられる。通常は有限の範囲の整数しか扱うことができないが、処理速度を犠牲にして無限の整数を扱う方法もある。

事務処理など金額などの大きな桁や 10 進小数を正確に扱う必要がある場合、二進化十進表現を用いる。

[編集] 脚注

^ 形容詞「有理（的）」(rational) はそもそも「整数比」であるという意味なので、この呼称は自己循環的にもみえる。しかし、有理整数と呼ぶ場合の「有理」は「有理数の中で」という程度の意味の単なる符牒であって、「整数比」という本来の意味合いに拘るのは徒労である。
^ 以下の構成では、自然数には 0 を含まないという立場で記述しており、したがって自然数に 0 を含んでも含まなくてもどちらでも構わないことも注意していただきたい。
^ ^a ^b ^c かなり技巧的な作業のように見えるが、自然数を二つの自然数の差として (a, b) = a − b というつもりで書いてあるものとして読んで差し支えない。差が一定の自然数の組は無数にあるので、実際には [a, b] = a − b と考えるべきだが、そう考えることに整合性があることを確かめるのが、多少抽象的であるが、途中で同値関係で割ったり、同値類の間に演算を導入したりする部分である。

[編集] 参考文献

保江邦夫『数の論理　マイナスかけるマイナスはなぜプラスか？』講談社〈ブルーバックス〉、2002年。ISBN 4-06-257397-0
高木貞治『数の概念』岩波書店、1970年。ISBN 4-00-005153-9

^ H.‐D.エビングハウス他『数(上)』成木勇夫訳、シュプリンガーフェアラーク東京〈シュプリンガー数学リーディングス〉、2004年、新装版。ISBN 978-4431711230。

[編集] 関連項目

[編集] 外部リンク

Weisstein, Eric W., "Integer" - MathWorld.（英語）

[0] 形容詞「有理（的）」(rational) はそもそも「整数比」であるという意味なので、この呼称は自己循環的にもみえる。しかし、有理整数と呼ぶ場合の「有理」は「有理数の中で」という程度の意味の単なる符牒であって、「整数比」という本来の意味合いに拘るのは徒労である。

[2] 以下の構成では、自然数には 0 を含まないという立場で記述しており、したがって自然数に 0 を含んでも含まなくてもどちらでも構わないことも注意していただきたい。

[equivalence-3] かなり技巧的な作業のように見えるが、自然数を二つの自然数の差として (a, b) = a − b というつもりで書いてあるものとして読んで差し支えない。差が一定の自然数の組は無数にあるので、実際には [a, b] = a − b と考えるべきだが、そう考えることに整合性があることを確かめるのが、多少抽象的であるが、途中で同値関係で割ったり、同値類の間に演算を導入したりする部分である。

[1] H.‐D.エビングハウス他『数(上)』成木勇夫訳、シュプリンガーフェアラーク東京〈シュプリンガー数学リーディングス〉、2004年、新装版。ISBN 978-4431711230。

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