十六元数

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十六元数（じゅうろくげんすう、sedenion）は、全体として実数体 R 上 16 次元の（双線型な乗法を持つベクトル空間という意味での）分配多元環を成す代数的な対象で、その全体はしばしば S で表される。

• 円十六元数：八元数にケーリー＝ディクソンの構成法を使って得られる対合的二次代数である。
• 錐十六元数：シャルル・ミューセの M-代数のひとつ

[編集] ケーリー・ディクソンの十六元数

十六元数は、その実ベクトル空間としての基底をなす 16 個の単位十六元数 e₀ = 1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇, e₈, e₉, e₁₀, e₁₁, e₁₂, e₁₃, e₁₄, e₁₅ たちの線型結合

として表される。

単位十六元数の乗積表は次のようなものである。

基底の乗積表

×	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	e11	e12	e13	e14	e15
1	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	e11	e12	e13	e14	e15
e1	e1	−1	e3	−e2	e5	−e4	−e7	e6	e9	−e8	−e11	e10	−e13	e12	e15	−e14
e2	e2	−e3	−1	e1	e6	e7	−e4	−e5	e10	e11	−e8	−e9	−e14	−e15	e12	e13
e3	e3	e2	−e1	−1	e7	−e6	e5	−e4	e11	−e10	e9	−e8	−e15	e14	−e13	e12
e4	e4	−e5	−e6	−e7	−1	e1	e2	e3	e12	e13	e14	e15	−e8	−e9	−e10	−e11
e5	e5	e4	−e7	e6	−e1	−1	−e3	e2	e13	−e12	e15	−e14	e9	−e8	e11	−e10
e6	e6	e7	e4	−e5	−e2	e3	−1	−e1	e14	−e15	−e12	e13	e10	−e11	−e8	e9
e7	e7	−e6	e5	e4	−e3	−e2	e1	−1	e15	e14	−e13	−e12	e11	e10	−e9	−e8
e8	e8	−e9	−e10	−e11	−e12	−e13	−e14	−e15	−1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e9	e9	e8	−e11	e10	−e13	e12	e15	−e14	−e1	−1	−e3	e2	−e5	e4	e7	−e6
e10	e10	e11	e8	−e9	−e14	−e15	e12	e13	−e2	e3	−1	−e1	−e6	−e7	e4	e5
e11	e11	−e10	e9	e8	−e15	e14	−e13	e12	−e3	−e2	e1	−1	−e7	e6	−e5	e4
e12	e12	e13	e14	e15	e8	−e9	−e10	−e11	−e4	e5	e6	e7	−1	−e1	−e2	−e3
e13	e13	−e12	e15	−e14	e9	e8	e11	−e10	−e5	−e4	e7	−e6	e1	−1	e3	−e2
e14	e14	−e15	−e12	e13	e10	−e11	e8	e9	−e6	−e7	−e4	e5	e2	−e3	−1	e1
e15	e15	e14	−e13	−e12	e11	e10	−e9	e8	−e7	e6	−e5	−e4	e3	e2	−e1	−1

一般の十六元数の積は基底における乗法を（分配法則が成り立つように）線型に拡張することで得られる。ケーリーの八元数と同様に十六元数の乗法は可換でも結合的でもない。そして、ケーリーの八元数環 O と明確に違うことに、十六元数の全体 S は交代代数 (alternative algebra) にもならない。十六元数についていえることは冪結合性を持っているということである。十六元数は乗法に関する単位元および逆元を持つが、零因子（それ自体は零ではないが掛けると結果が零になることがあるもの）が存在するために多元体とはならない。十六元数からケーリー＝ディクソンの構成法を元にして作られるどの超複素数系も零因子を含む。

十六元数の全体 S は共軛元をとる主対合

によってノルム

の定まる二次代数 (S, N) であるが、このノルム N は必ずしも乗法的（N(xy) = N(x)N(y)）とはならない。

[編集] 関連項目

• 複素数
• 四元数
• 八元数