代数的数

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数学における代数的数（だいすうてきすう、algebraic number）とは、ある有理数係数の多項式の根となる複素数のことである。

目次

[編集] 概要

複素数 α に対し、有理数係数の多項式

f(x) = an xn + an-1 xn-1 + … a1 x + a0
ただし an,...,a0 はすべて有理数

が存在し

f(α) = 0

となるとき α を代数的数という。

αが有理数ならば

f(x) = x - α

という有理数係数の多項式をとればよく、有理数はすべて代数的数である。

無理数ではたとえば √2 は

f(x) = x2 - 2

の根なので代数的数であるし、虚数でも

f(x) = x2 + 1

の根である ±i は代数的数である。

円周率 π や ネイピア数 e はこのような有理数係数の多項式は存在しないことが知られており、代数的数ではなく超越数と呼ばれている。超越数と違って代数的数は多項式と結びついているために扱いやすい数である。

このように代数的数は多項式と密接なつながりを持つ数の集合であるので、数学の多くの分野で目にすることができるが、代数的数そのものは代数的整数論という分野で研究されている。

[編集] 定義

複素数 α に対し、適当な有理数係数の多項式

f(x) = an xn + an-1 xn-1 + … a1 x + a0
an, ..., a0 はすべて有理数

が存在し、α がその根つまり

f(α)=0

であるとき、α は代数的数であるという。

代数的数 α に対し、上のように α を根とするような多項式 f(x) を α の定義多項式と呼ぶことがある。代数的数の定義多項式のうち、次数が最小のものは最小多項式と呼ばれ、有理数倍の違いを除いては一意に決まる既約多項式である。そのために最小多項式は代数的数の性質をよく反映していると考えられている。最小多項式の表式を規格化するために、最高次の項の係数を 1 とすることも多い。代数的数 α の最小多項式の次数が n であるとき、α は n 次の代数的数であるという。

二つの代数的数 αと β の最小多項式が同じであるとき、これらは互いに共役な代数的数であるといわれる。例えば、2次の代数的数は自分自身以外に共役な数をただ一つ持ち、有理数 a と b について a+b\sqrt{-1} と表されるようなものの共役数は、共役複素数に等しい。

また、代数的数 α が整方程式の解となっているとき、つまり α の定義多項式が整数係数で最高次の係数が 1 である多項式（モニック多項式）となるとき、α は代数的整数 (algebraic integer) であるという。代数的数の中で整なものの意味である。

a, b を有理数とするとき、a+b\sqrt{-1} は代数的数である。また、有理数 a の平方根は代数的数であり、特に a が整数のときに代数的整数となる。より一般に n を自然数、a を有理数とするとき a の n 乗根は代数的数となる。

[編集] 体論・環論と代数的数

代数的数同士に対し加減乗除の演算を施すとやはり代数的数が得られるので、代数的数は体をなしていることがわかる。それぞれの代数的数は有理数体 Q のある有限次拡大体に含まれている。 Q の有限次代数拡大体は代数体と呼ばれるが、代数的数とは代数体の元だと特徴づけることができる。

代数体すべてをあわせたものは Q と表され、Q の無限次の拡大体になる。代数的数を係数とする多項式の根となっている複素数はまた代数的数である。すなわち、Q は代数的閉体である。しかも、Q は Q を部分体として含むような最小の代数的閉体（有理数体の代数的閉包）である。

代数的数 a について、a2, … , an を a と共役な数たちとするとき、一変数 X についての多項式

(X - a) (X - a2) … (X - an)

は実際には有理数係数となり、これが a の最小多項式になっている。a, a2, … , an から四則演算で作られるような数の全体 K は Q のガロア拡大をなしており、 a の共役数はK の Q 上のガロア群 GK の作用による a の像として特徴づけることができる。

代数的整数同士を足しても引いても掛けても代数的整数になることが分かるので、代数的整数全体は環になり、代数的整数環と呼ばれる。これは有理整数環 Z の無限次整拡大であり、Z の最小の整閉整域（整閉包）である。代数体の中で Z 上整なものの全体は代数体の整数環と呼ばれる環を成す。特に有理数体 Q の整数環は有理整数環 Z である（有理整数環の名はこれに由来する）。

整数から四則演算 +, −, ×, ÷ と根号 n√ を有限回使って表される数は代数的数である。四則演算とべき根の操作を有限回用いた代数方程式の解の公式は、2次方程式の場合はよく知られた解の公式として、3次方程式の場合はタルタリア＝カルダノの公式として、4次方程式の場合はフェラーリの公式としてあたえられており、4次以下の代数的数については有理数のべき根と四則演算の組み合わせて書けることになる。一方で、ルフィニ、アーベルおよびガロアによって5次より高次の代数方程式には代数的な（つまり四則演算と冪根をとる操作を有限回用いた）解の公式はないことが示されている(アーベル-ルフィニの定理)。したがって5次以上の代数的数のうちには四則演算と根号だけでは表せないようなものがあることがわかる。例えば

x5 + x + 1 = 0

の根である代数的数は、有理数の四則演算とべき根で表すことはできない。

[編集] 関連する概念

代数的数でない複素数を超越数という。例えば、円周率 π や 自然対数の底 e は超越数である。ゲオルク・カントールによって、代数的数全体の集合 Q は可算集合である一方、実数全体の集合 R（特に、超越数全体の集合 R - Q ）が非可算集合であることが示されたが、これは当時大きな影響力を持っていたレオポルト・クロネッカーを含む多くの数学者から否定的な反応を受けた。

[編集] 関連項目

[編集] 参考文献

  • ハーディ, G.H.・ライト, E.M. 『数論入門(1), (2)』 示野 信一・矢神 毅訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2001年。
  • 高木, 貞治 『初等整数論講義』 共立出版、東京、1971年、第2版。

[編集] 外部リンク

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