三角関数

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三角関数（さんかくかんすう、英: trigonometric function）とは、平面三角法において直角三角形の角の大きさから辺の比を与える関数の族および、それらを拡張して得られる関数の総称である。

[編集] 定義

[編集] 直角三角形における定義

∠C を直角とする直角三角形 △ABC

直角三角形は1つの角が直角であり、三角形の内角の和は180度であることから他の1つの角の大きさが定まれば、角の大きさが3つとも決まり三角形の3辺の比も決まる。ゆえに角の大きさを与えることで、辺同士の比を返すような関数を考えることができる。

∠C を直角とする直角三角形 △ABC において ∠A = θ を与えれば、 3辺の比 AB : BC : CA が定まることから、h = AB, a = BC, b = CA とおくと、

$\sin\theta = {a \over h}$

$\cos\theta = {b \over h}$

$\tan\theta = {a \over b} = {\sin\theta \over \cos\theta}$

$\csc\theta = {h \over a} = {1 \over \sin\theta}$

$\sec\theta = {h \over b} = {1 \over \cos\theta}$

$\cot\theta = {b \over a} = {\csc\theta \over \sec\theta} = {1 \over \tan\theta}$

という6つの値が定まる。それぞれ正弦（サイン/sine）・余弦（コサイン/cosine）・正接（タンジェント/tangent）・余割（コセカント/cosecant）・正割（セカント/secant）・余接（コタンジェント/cotangent）と呼ばれ、まとめて三角比と呼ばれる。余弦とは、余りの角、すなわちその角と直角以外の角の正弦を意味する。三角比は平面三角法に用いられ、巨大なものの大きさや遠方までの距離を計算する際の便利な道具となる。角度 θ の単位は普通、度かラジアンである。

[編集] 単位円における定義

点Oを中心とする単位円上での全ての三角関数の定義。

2次元ユークリッド空間 R² における単位円 x² + y² = 1 上で、点 (1,0) から正の向きに回転する動点 P = (x,y) に対して、動点と原点を結ぶ線分が x 軸の正方向と成す角を t として、

$\sin\ t = y$
$\cos\ t = x$
$\tan\,t = \frac{\sin\,t}{\cos\,t} = {y \over x}$

と定義する（ただし、tは反時計回りの向きを正として測る）。上から正弦関数（sine; サイン）・余弦関数（cosine; コサイン）・正接関数（tangent; タンジェント）と呼び、これらを総称して三角関数と呼ぶ。さらにその逆数、

$\mathrm{cosec}\,t = {1 \over \sin\,t} = {1 \over y},$
$\sec\,t = {1 \over \cos\,t} = {1 \over x},$
$\cot\,t = {1 \over \tan\,t} = {x \over y}$

を、上から余割関数（cosecant; コセカント）・正割関数（secant; セカント）・余接関数（cotangent; コタンジェント）と呼び、これらを総称して割三角関数（かつさんかくかんすう）と呼ぶ。また、割三角関数を含めて三角関数と呼ぶこともある。cosec は長いため、主に csc と書く。

[編集] 歴史

一定の半径の円における中心角に対する弦と弧の長さの関係は、測量や天文学の要請によって古代から研究されてきた。

古代ギリシャにおいて、円と球に基づく宇宙観に則った天文学研究から、ヒッパルコスにより一定の半径の円における中心角に対する弦の長さが表にまとめられたもの（正弦表）が作られた。プトレマイオスの『アルマゲスト』にも正弦表が記載されている。

正弦表は後にインドに伝わり、弦の長さは半分でよいという考えから5世紀ごろには半弦 ardha-jiva （つまり現在の sine の意味の正弦）の長さをより精確にまとめたものが作成された（『アールヤバタ』）。ardha は"半分" jiva は"弦"の意味で、当時のインドではこの半弦（現在の sine の意味の正弦）は単に jiva と略された。また、弦の長さを半分にして直角三角形を当てはめたことから派生して余角 (complementary angle) の考えが生まれ、“余角 (co-angle) の正弦 (sine)”という考えから余弦 (cosine) の考えが生まれた。余弦の値もこのころに詳しく調べられている。

（*co- は complementary の略で、補完的･補足的という意味の接頭語として用いる）

8世紀ごろアラビアへ伝わったときに jaib（入り江）と変化して、一説では12世紀にチェスターのロバートがラテン語に翻訳した際、正弦を sinus rectus と意訳し（sinusはラテン語で「湾」のこと）、現在の sine になったという。

また、10世紀の数学者アル・バッターニが正弦法の導入、コタンジェント表の計算、球面三角法（球面幾何学）の定理を提唱した。

円や弦といった概念からは独立に、三角比を辺の比として角と長さの関係と捉えたのは16世紀ドイツのラエティクスであると言われる。余弦を co-sine とよんだり、sin, cos という記号が使われるようになったりしたのは 17世紀になってからであり、それが定着するのは 18世紀オイラーのころである。一般角に対する三角関数を定義したのはオイラーである。

[編集] 三角関数の性質

[編集] 周期性

sin x と cos x のグラフ。周期性が確認できる

単位円上を往く動点 P は 2π の行程を隔てれば、単位円を一周する。従って、任意の行程 t は、

$t = \theta + 2\pi n ; \quad 0 \le \theta < 2\pi ,\ n\isin \mathbb{Z}$

と表現することができる。この時、θ を偏角、t を一般角と言う。偏角でも一般角でも、最終到達点の座標は一致するわけであるから、

$\qquad\sin(\theta+2\pi n)=\sin\theta$

が成り立つ（他の三角関数でも同様）。このことから、三角関数は周期関数となる。

[編集] 相互関係

詳細は「三角関数の公式の一覧」を参照

単位円上の動点の座標によって定まる関数であることから、三角関数の間には多数の相互関係が存在する。

基本相互関係

全てピタゴラスの定理により証明される。

$\qquad\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
$\sec^2\theta-\tan^2\theta=\frac{1-\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=1$
$\mathrm{cosec}^2\theta-\cot^2\theta=\frac{1-\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=1$

負角・余角・補角公式

$\qquad\sin(-\theta)=-\sin\theta$
$\qquad\cos(-\theta)=\cos\theta$
$\qquad\tan(-\theta)=-\tan\theta$
$\sin\!\left(\theta+{\pi\over 2}\right)=\cos\theta$
$\cos\!\left(\theta+{\pi\over 2}\right)=-\sin\theta$
$\tan\!\left(\theta+{\pi\over 2}\right)=-\cot\theta$
$\qquad\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$
$\qquad\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$
$\qquad\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$

[編集] 加法定理

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\, \sin\beta$
$\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\, \sin\beta$
$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\, \sin\beta$
$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\, \sin\beta$
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\, \tan\beta}$
$\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\, \tan\beta}$

[編集] 加法定理の導出

多くの導き方がある

例1 xy 平面上で原点を O とし、
点 A, B をそれぞれ A(cos(-α), sin(-α)), B(cosβ, sinβ) とすると、
線分 AB の長さの 2 乗は
　(cos(-α) - cosβ)² + (sin(-α) - sinβ)²
　= 2 - 2(cosαcosβ - sinαsinβ)
となるが、A, B を原点 O を中心に +α 回転させると
A'(1, 0), B'(cos(α+β), sin(α+β)) に移るので線分 A'B' の長さの 2 乗は
　(cos(α + β) - 1)² + (sin(α + β))²
　= 2 - 2cos(α + β)
となる。
点 A', B' は点 A, B をそれぞれ回転させただけなので線分の長さ A'B' と AB は等しい。
よって
　2 - 2(cosαcosβ - sinαsinβ) = 2 - 2 cos(α + β)
したがって
　cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ　･･･(i)
となる。
(i)を β → -β とすれば cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ　･･･(ii)
(i)を α → π/2 - α とすれば sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ　･･･(iii)
(iii)を β → -β とすれば sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
を得る。
例2
オイラーの公式から、

$\cos(\alpha + \beta)+ i\,\sin(\alpha + \beta) = e^{(\alpha + \beta)i} = e^{\alpha i} \cdot e^{\beta i}$
$=(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)(\cos\beta + i\,\sin\beta)$
$=(\cos\alpha\,\cos\beta - \sin\alpha\,\sin\beta) + i(\sin\alpha\,\cos\beta + \cos\alpha\,\sin\beta)$

として実部と虚部を比較すると sin, cos の加法公式を得る。また、

$\tan\left(\alpha \pm \beta\right)= \frac{\sin\alpha\,\cos\beta \pm \cos\alpha\,\sin\beta} {\cos\alpha\,\cos\beta \mp \sin\alpha\,\sin\beta}$

において分母と分子を $\cos\alpha\,\cos\beta$ で割ると tan の加法公式が得られる。

なお、当然のことながら、ここで述べた導出法はオイラーの公式を既知とするように三角関数の導入（たとえば三角関数をべき級数として定義）を行っていなければ通用しない。

[編集] 微積分

三角関数の微積分は、以下の表の通りである。

$\ \ \ \ f(x)$	$\ \ \ \ f'(x)$	$\int f(x)\,dx$
$\,\ \sin x$	$\,\ \cos x$	$\,\ -\cos x + C$
$\,\ \cos x$	$\,\ -\sin x$	$\,\ \sin x + C$
$\,\ \tan x$	$\,\ \sec^2 x = 1+\tan^2 x$	$-\ln \left \|\cos x\right \| + C$
$\,\ \cot x$	$\,\ -\csc^2 x = -(1+\cot^2 x)$	$\ln \left \|\sin x\right \| + C$
$\,\ \sec x$	$\,\ \sec x\tan x$	$\ln \left \|\sec x + \tan x\right \| + C$
$\,\ \csc x$	$\,\ -\csc x \cot x$	$\ -\ln \left \|\csc x + \cot x\right \| + C$

三角関数の微分では、次の極限

$\lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$

の成立が基本的である。このとき、sin x の導関数が cos x であることは加法定理から従う。さらに余角公式 cos x = sin(x + π/2) から cos x の導関数は sin(x + π) = −sin x である。即ち、sin x は微分方程式 ${d^2y\over dx^2} + y = 0$ の特殊解である。また、他の三角関数の導関数も、上の事実から簡単に導ける。

[編集] 級数展開

三角関数は以下のようにテイラー級数に展開される。解析学では、幾何的な性質へ言及せず、これらの表示を三角関数の定義とすることがある。z は任意の複素数である。B_n は、ベルヌーイ数である。E_n はオイラー数である

$\sin z = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}\quad\mbox{ for all } z$

$\cos z = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}\quad\mbox{ for all } z$

$\tan z = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{ (-1)^n 2^{2n} (1-2^{2n}) B_{2n}}{(2n)!} z^{2n-1}\quad\mbox{ for } |z| < \frac{\pi}{2}$

$\csc z = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{ (-1)^n (2-2^{2n}) B_{2n}}{(2n)!} z^{2n-1}\quad\mbox{ for } 0 < |z| < \pi$

$\sec z = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} z^{2n}\quad\mbox{ for } |z| < \frac{\pi}{2}$

$\cot z = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{ (-1)^n 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} z^{2n-1}\quad\mbox{ for } 0 < |z| < \pi$

[編集] 無限乗積展開

三角関数は以下のように無限乗積に展開される。（→証明）

$\sin{({\pi}z)}={\pi}z\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}$
$\cos{({\pi}z)}=\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2}\right)}$

[編集] 部分分数展開

三角関数は以下のように部分分数に展開される。（→証明）

$\pi\cot{{\pi}z}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac{1}{z+n}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}$
$\pi\tan{{\pi}z}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac{-1}{z+\textstyle\frac{1}{2}+n}=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2z}{z^2-\left(n+\textstyle\frac{1}{2}\right)^2}$
$\frac{\pi}{\sin{\pi}z}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac{(-1)^{n}}{z+n}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2z}{z^2-n^2}$
$\frac{\pi}{\cos{{\pi}z}}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac{(-1)^{n}}{z+\frac{1}{2}+n}=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(2n+1)}{z^2-\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}$

[編集] 逆三角関数

三角関数の逆関数を逆三角関数（ぎゃくさんかくかんすう、inverse trigonometric function）とよぶ。逆三角関数は逆関数の記法に則り、元の関数の記号に −1 を右肩に付して表す。たとえば逆正弦関数（ぎゃくせいげんかんすう、inverse sine; インバース・サイン）は sin⁻¹ x などと表す。

$x=\sin y \iff y=\sin^{-1}x,$
$x=\cos y \iff y=\cos^{-1}x,$
$x=\tan y \iff y=\tan^{-1}x,$
$x=\cot y \iff y=\cot^{-1}x,$
$x=\sec y \iff y=\sec^{-1}x,$
$x=\mathrm{cosec} \,\, y \iff y=\mathrm{cosec}^{-1} \, x$