円周率

円周の長さ C は直径 d の約3倍である。正確な比率は π と表記される。

円周率（えんしゅうりつ）は、円周の長さと直径の比率として定義される数学定数である。通常 π（パイ）で表される。数学、物理学や工学の様々な分野での公式に出現し、最も重要な数学定数とも言われる。

円周率は無理数、つまりその小数展開は循環しない。小数点以下35桁までの値は次の通りである。

π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 …

円周率は、無理数であるのみならず、超越数でもある。

基礎 [編集]

表記と呼び方 [編集]

小文字のπは円周率を表す。写真はベルリン工科大学の数学科の近くにあるタイル。

π という文字は、周辺・地域・円周などを意味するギリシア語 περιφέρεια（ペリフェレイア）の頭文字である。ウィリアム・オートレッドやアイザック・バローによって円周を表す記号として用いられ、ウィリアム・ジョーンズやレオンハルト・オイラーなどによって円周の直径に対する比率を表す記号として用いられた。日本では「パイ」と発音する。

π は国によっては別名がある。例えばそれを計算した人物の名前を取った、「アルキメデス数」、「ルドルフ数」、日本においては「円周率」がそれに当たる。

なお、「π」の字体は表示環境や大文字・小文字の差によってはキリル文字の п に近い Π・π などとして表示されることがある。また、大文字のギリシア文字 $\Pi$ は数列の積を表す記号である。

定義 [編集]

幾何学的な定義 [編集]

直径 1 の円の円周は π

平面幾何学において、円周率 π は、円周の長さ C をその円の直径 d で割った値として定義される。

$\pi =\frac{C}{d}$

全ての円は互いに相似なので、この比率はどんな円でも一定である。

他の定義方法 [編集]

円周率は元々上記のように定義された数である。そのため平面幾何学の仮定や結論に依存しており、平面幾何学と関係を持たない数学の分野において π が現れる際に問題となることがある。この理由によって、現代的な数学では図形的な性質へ言及せず、解析学的な性質の一つを取り出し π の定義とすることが多い^[1]。この際の π の定義として一般に使われるものは、三角関数 cos x が 0 を取るような x > 0 の最小値の2倍とするものがある。他に複素指数関数によって定義するもの、積分によって定義するものがある。

歴史 [編集]

「円周率の歴史」も参照

古代 [編集]

円に内接する多角形による π の近似

円に内接・外接する多角形による π の近似。アルキメデスによる計算。

円周の直径に対する比率がどんな円においても一定であり、その数が3より少し大きい程度だということは古代エジプトやバビロニア、インド、ギリシャの幾何学者たちにはすでに知られていた。また、古代インドやギリシャの数学者たちの間では半径 r の円の面積が πr² であることも知られていた。さらに、アルキメデスは半径 r の球の体積が $\frac{4}{3} \pi r^3$ であることや、この球の表面積が 4πr²（同じ半径の円の面積の4倍）になることを示した。

2千年紀 [編集]

14世紀インドの数学者・天文学者であるサンガマグラマのマーダヴァは次のような π の無限級数表示を見いだしている（ライプニッツの公式）：

$\frac{\pi}{4} =1-\frac{1}{3} +\frac{1}{5} -\frac{1}{7} +\cdots +(-1)^n \frac{1}{2n+1} \cdots$

これは逆正接関数 Arctan x のテイラー展開の x = 1 での実現になっている。マドハヴァはまた、

$\pi =\sqrt{12} \left( 1-\frac{1}{3\cdot 3} +\frac{1}{5\cdot 3^2} -\frac{1}{7\cdot 3^3} +\cdots \right)$

を用いて π の値を小数点以下11桁まで求めている。

18世紀フランスの数学者アブラハム・ド・モワブルは、2n 回コインを投げたときに x 枚が表向きになる確率は、ある定数 C（彼は n が 900 の場合に数値計算によってその値を近似した）について

$C=\exp \left\{ -\frac{(x-n)^2}{n} \right\}$

となっていることを見いだした。この正規分布の概念は1738年に出版されたドモワブルの『巡り合わせの理論』に現れている。ドモワブルの友人のジェイムズ・スターリングは後になってこの定数 C が n → ∞ のとき $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ に収束することを示している。

1751年にヨハン・ハインリッヒ・ランベルトは x が有理数ならば正接関数の値 tan x が無理数になることを示し、その系として π が無理数であることを導いた。さらに1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンは π が超越数であることを示し、円積問題が解けない（与えられた半径の円と同じ面積を持つ正方形を定規とコンパスで作図することはできない）ことを導いた。

コンピューターによる計算の時代 [編集]

20世紀に入ってからのコンピューターの発達によって、計算された円周率の桁数は増大した。1949年に、ジョン・フォン・ノイマンはコンピューターの ENIAC を使い70時間かけて、円周率を2037桁まで計算した^[2]。その後の数十年間、さまざまなコンピューター科学者によって計算は進められ、1973年には100万桁を超えた。この進歩は高速なハードウェアの開発だけによるものではなく、新しいアルゴリズムの考案があったためである。最も重要な発展のうちの一つとしては、1960年代の高速フーリエ変換の発見がある。高速フーリエ変換によってコンピューターで多倍精度の演算が高速に実行できるようになったためである。

2011年現在では、円周率は小数点以下10兆桁まで計算されている^[3]。

円周率の性質 [編集]

無理性と超越性 [編集]

詳細は「円周率の無理性の証明」および「リンデマンの定理」を参照

π は無理数である。つまり、2つの整数の比で表すことはできず、小数展開は無限に続く。このことは1761年にヨハン・ハインリッヒ・ランベルトが証明したが、厳密性に欠けた部分があった。その部分は1806年にルジャンドルによって補われた。

さらに、π は超越数である。つまり、有理数を係数に用いた有限次の代数方程式の根とはならない。これは1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンによって証明された。この結果から、整数から四則演算と冪根をとる操作だけを有限回組み合わせた計算によって π の正確な値を求めることはできないことが分かる。

π が超越数であることより、円積問題（定規とコンパスによる作図で、与えられた円と同じ面積を持つ正方形を求める）が不可能であることが従う。

ランダム性 [編集]

π の各桁に現れる数の並び方はランダムであることが期待されてはいるが、実際は、π が正規数であるかどうかは分かっていない。例えば π の10進表示において、各桁を順に取り出した

3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5,…（オンライン整数列大辞典の数列 A796）

を数列と見たときに、この数列には 0, …, 9 が均等に現れるのかどうか、すなわち、この数列が乱数列になっているかどうかは分かっていない。それどころか 0 , …, 9 のどれもが無限に現れるのかどうかすら分かっていない。

現在 π は5兆桁を超える桁数まで計算され 0, …, 9 がランダムに現れているようには見えるが、この状態がこの先の桁でも続くかどうかは分からないのである。

ベイリーとクランドールの2000年の発表によると、ベイリー＝ボールウィン＝プラウフの式を用いて2進表示で様々な桁の計算をした結果では、各数値の出現率はカオス理論に基づいていると推測できるようである。

5兆桁までの数字の出現回数は以下の通りで、ほぼ等しく出現している。最も多く出現するのは 8 である。

0：4999億9897万6328回

1：4999億9996万6055回

2：5000億0070万5108回

3：5000億0015万1332回

4：5000億0026万8680回

5：4999億9949万4448回

6：4999億9893万6471回

7：5000億0000万4756回

8：5000億0121万8003回

9：5000億0027万8819回

未解決問題 [編集]

π + e は超越数か?（e はネイピア数）

この節は執筆中です。加筆、訂正して下さる協力者を求めています。

円周率に関する式 [編集]

π を含む数式は非常に多い。ここではその一部を紹介する。数式によってはそれ自体が π の定義になり得るし、π の近似値の計算などにも使われてきた。

幾何 [編集]

半径 r の円の円周の長さ： L(r) = 2πr
半径 r の円の面積：A(r) = πr²
半径 r の球の体積： $V(r)=\frac{4}{3} \pi r^3$
半径 r の球の表面積：S(r) = 4πr²
半軸が a と b の楕円の面積：A(a, b) = πab
180°は π ラジアンと等しい

解析学 [編集]

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots =\frac{\pi}{2}$ （ウォリス）
$\zeta (2)=\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} +\cdots =\frac{\pi^2}{6}$ （1735年：オイラー、バーゼル問題、ゼータ関数）
$\zeta (4)=\frac{1}{1^4} +\frac{1}{2^4} +\frac{1}{3^4} +\frac{1}{4^4} +\cdots =\frac{\pi^4}{90}$
$\frac{\pi^2}{6} =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{{n^2}2^{n-1}} +(\log 2)^2$ （オイラー）
$\zeta (2n)=\frac{(-1)^{n-1} 2^{2n-1} B_{2n}}{(2n)!} \pi^{2n} \ (n\in \mathbb{N})$ （B_n はベルヌーイ数）
$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx=\sqrt{\pi}$ （ガウス積分）
$\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) =\sqrt{\pi}$ （ガンマ関数）
$n!\sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$ （スターリングの公式。f(n)～g(n) は $\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=1$ を表す）
$\sum_{k=1}^n \phi (k)\sim \frac{3n^2}{\pi^2}$ （φ(k) はオイラーのφ関数）
e^πi + 1 = 0（オイラーの等式）
$\frac{1}{\pi} =\frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!(1103+26390n)}{(4^n99^nn!)^4}$ （ラマヌジャン）
$\frac{4}{\pi} =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1}(4^nn!)^4}$ （ラマヌジャン）
$\sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots =\frac{2}{\pi}$
の連分数表示：
- $\frac{4}{\pi} =1+ \cfrac{1}{3+ \cfrac{4}{5+ \cfrac{9}{7+ \cfrac{16}{9+ \cfrac{25}{11+ \cfrac{36}{13+ \cfrac{49}{\ddots}}}}}}}$

数論 [編集]

自然数から無作為に2つを取り出す時、その2つが互いに素である確率は $\frac{6}{\pi^2}$ である。

力学系・エルゴード理論 [編集]

ロジスティック写像 x_i+1 = 4x_i(1 − x_i) により帰納的に定まる数列 {x_i} を考える。0 以上 1 以下のほとんどすべての数について、この数列の初期値 x₀ としてその数を選んだ場合に

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \sqrt{x_i} =\frac{2}{\pi}$

が成り立つ。

統計 [編集]

$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2\sigma^2}}$ （正規分布の確率密度関数）
幅 1 の無限に広がる平行線の上から長さ $\frac{1}{2}$ の針を落とすとき、その針が平行線の1つと共有点を持つ確率は $\frac{1}{\pi}$ である（ビュフォンの針）。

その他 [編集]

河川の長さの水源－河口間の直線距離に対する比率は、平均すると円周率に近い^[4]。

暗唱 [編集]

語呂合わせ [編集]

π の桁を記憶術に頼らずに暗記する方法が各種存在している。

日本語では、語呂合わせの要領で非常に長い桁を暗記するのも比較的簡単である。非常に有名なものとして以下のようなものがある。

産	医	師	異	国	に	向	かう	産	後	厄	な	く	産	婦	み	や	し	ろ	に	虫	散	々	闇	に	鳴	く
3.	1	4	1	59	2	6	5	3	5	89	7	9	3	2	3	8	4	6	2	64	3	3	83	2	7	9	（30桁）

英語圏では語呂合わせがうまくいかないため、英単語の文字数で覚える方法がいろいろと存在している。

Yes,	I	have	a	number.
3.	1	4	1	6	（小数点以下4桁までで四捨五入）

How	I	want	a	drink,	alcoholic	of	course,	after	the	heavy	lectures	involving	quantum	mechanics!
3.	1	4	1	5	9	2	6	5	3	5	8	9	7	9	（14桁）

How	I	want	a	drink,	alcoholic	of	course,	after	the	heavy	lectures	involving	quantum	mechanics!	and	if	the	lectures	were	boring	or	tiring,	then	any	odd	thinking	was	on	quartic	equations	again
3.	1	4	1	5	9	2	6	5	3	5	8	9	7	9	3	2	3	8	4	6	2	6	4	3	3	8	3	2	7	9	5	（31桁）S.ボトムリー

これら覚え方には多くの方法があり、日本語では上記のものの改編で90桁までのものや、歌に合わせたもの、数値を文字に置き換えて1,000桁近く覚える方法など様々な方法がある。

記録 [編集]

『ギネス世界記録』によれば、円周率暗唱の世界記録は2005年 11月20日に6万7890桁を暗唱した中国人、呂超（西北農林科技大学大学院生）が記録したものである^[5]^[6]。

2004年 9月25日、原口證が8時間45分かけて円周率5万4000桁の暗唱に成功し、従来の世界記録を更新した。しかしながら、実際はより多くの桁を覚えていたため、2005年 7月1日～7月2日に再挑戦し、8万3431桁までの暗唱に成功した。2006年 10月3日午前9時～10月4日午前1時30分（16時間30分）の挑戦で円周率10万桁の暗唱に成功した。ギネス・ワールド・レコーズに申請中である。

文化的影響 [編集]

円周率の日を祝う「パイのパイ」。デルフト工科大学で作られたもの。

円という日常でもよく知られた図形の性質として、また単純な定義でありながら有理数として表せず無限に続くという不思議さから、数学的な概念としては最もよく知られたものの一つである。

3月14日は円周率の日および数学の日である。また7月22日（22/7は近似値）は円周率近似値の日とされている。
2012年 8月14日、米国勢調査局が、米国の人口が円周率と同じ並びの3億1415万9265人に達したと発表した。アメリカには円周率の曲を作る人もいる^[7]。