ディオファントス近似

ディオファントス近似（ディオファントスきんじ、英: Diophantine approximation）とはある数（実数など）を別のより単純な構造を持つ数（有理数など）で近似する方法やその値、あるいはそれについて研究する数論の一分野である。アレクサンドリアのディオファントスに因む。

ディオファントス近似は無理数や超越数の研究と深く関連している。実際、代数的数については次数や高さに依存して近似の精度に限界があることが知られている。

また、不定方程式など、数学上の他の問題でもディオファントス近似に帰着することが多い。例えばペル方程式 y²=2x²-1 の整数解は2の平方根のディオファントス近似に帰着する。

ディリクレの定理

基本的な問題としては、任意の無理数αに対して、

$|x-y\alpha|<\frac{1}{y}$

となるような整数x, yを求めることがあげられる。ディリクレのディオファントス近似定理により、上式を満足するxとyは無数に存在する。不等式は

$\left|\frac{x}{y}-\alpha\right|<\frac{1}{y^2}$

と書き直すことができることから、「任意の無理数αに対して、誤差が$\frac{1}{y^2}$以下であるような、近似有理数$\frac{x}{y}$を求める」と言い換えることができる。

円周率πを小数点以下3桁まで十進数表記するとすれば3.141である。これを分数で表記すれば3141/1000であり、

$|3141/1000-\pi| < 1/1000$

が成立するので誤差を1/1000以下に出来ることはあきらかである。しかし、ディオファントス近似はより小さい分母にてよりよい近似できる可能性を示唆するものである。

実際

$|355/113-\pi| < 0.00000027 < 1/1000000$

である。故に、ディオファントス近似は無理数を有理数で近似するよりよい近似方法の存在を示しているとも言える。

ディオファントス近似の不等式を満たす x, yが無限にあることの証明は鳩の巣原理を使って証明可能である。この証明の過程を利用して、πの近似で性能がよいものを分母が小さい順に求めると、以下のようになる。

$|3-1\pi| < 1$

$|22-7\pi| < 1/7$

$|333-106\pi| < 1/106$

$|355-113\pi| < 1/113$

これからπの近似として、3, 22/7, 333/106, 355/113, ...　を得ることができる。これらの近似値は古代からよく知られた円周率の近似値である。

また、近似値と連分数展開は深い関係にある。例えばπの連分数展開は

$3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cfrac{1}{\ddots}}}}}$

であるが、7の時点で計算を打ち切ると22/7、15の時点で打ち切ると333/106となる。この手法で5番目の近似値を求めると、円周率の近似として、103993/33102を得ることができる。また実際

$|103993-33102\pi| < 1/33102$

である。

主な定理

リウヴィル(1844年)

α が次数d の実代数的数ならば、αに依存する計算可能な正定数 c が存在して

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{c}{q^d}$

が、全ての有理数 $\scriptstyle p/q\ \ (q > 0)$ に対して成立する。

この定理によって、超越数の実例がはじめて発見された。

その後、上式右辺の $q$ の指数部分は、以下の様に次第に改良されてきた。

発表年	発見者	結果
1844年	リュウビル	$d$
1909年	トゥエ	$\frac{d}{2} + 1$
1921年	ジーゲル	$2\sqrt{d}$
1947年	ゲルフォント, ダイソン	$\sqrt{2d}$
1955年	ロス	$2$

最後のロスによる結果は、以下の様に表現される：

ロスの定理(1955年)

α が、2次以上の実代数的数ならば、任意の正数 $\varepsilon$ に対して、α に依存する正定数 c が存在して

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{c}{q^{2 + \varepsilon}}$

が、全ての有理数 $\scriptstyle p/q\ \ (q > 0)$ に対して成立する。

リドゥ (D. Ridout) は、近似分数の分母、分子に現れる素因数を制限することで、ロスの結果が改良されることを示した。

ロス=リドゥの定理(1957年)

α を、2次以上の実代数的数とする。

$\scriptstyle P_1,\ldots, P_s,\ Q_1,\ldots,\ Q_t$を相異なる素数、$d$ を正整数とする。 また、$\scriptstyle \lambda,\ \rho$ を、$\scriptstyle 0\le\lambda\le 1,\ 0\le\rho\le 1$ を満たす実数とする。

正整数 $p,\ q$ は、

(*)　$p = p^* P_1^{\sigma_1}\cdots P_s^{\sigma_s},\ q = q^* Q_1^{\tau_1}\cdots Q_t^{\tau_t},$

但し、$\sigma_1,\ldots,\ \sigma_s,\ \tau_1,\ldots,\ \tau_t$ は、非負整数で、 $\scriptstyle 1\le p^*\le dp^\lambda,\ 1\le q^*\le dq^\rho$

を満たす。

このとき、任意の $\kappa > \lambda + \rho$ に対して、

$\scriptstyle \alpha,\ \kappa,\ \lambda,\ \rho,\ d,\ P_1,\ldots, P_s,\ Q_1,\ldots,\ Q_t$ に依存する正定数 c が存在して

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{c}{q^{\kappa}}$

が、(*) を満たす全ての$\scriptstyle p/q$ に対して成立する。

注意　ロスの定理は、$\lambda = \rho = 1$ の場合に相当する。

リュウビルの結果では、右辺に現われる正定数 c は、α が与えられれば、具体的に計算することが可能であるが、 ロス(およびトゥエ以降の全ての結果に対しても)の結果では、c の値を計算することはできない。

もし、与えられた α に対して、c の値を求めることが可能になれば、 不定方程式の整数解に対して、解が有限個しか存在しないだけでなく、整数解の存在範囲を示すことが可能となる。

ベイカーによる対数の1次形式の評価定理を用いて、以下のことが証明されている。

α を次数 $\scriptstyle d(\ge 2)$ の実代数的数としたとき、 αに依存する計算可能な定数 c と $\kappa(< d)$ が存在して、

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{c}{q^{\kappa}}$

が、全ての有理数 $\scriptstyle p/q\ \ (q > 0)$ に対して成立する。

現状では、$\kappa$ の結果は、ロスの結果にはおよばず、例えば、

• $\alpha = \sqrt[3]{2}$ の場合、$c = 10^{-6},\ \kappa = 2.955$
• $\alpha = \sqrt[3]{17}$ の場合、$c = 10^{-9},\ \kappa = 2.4$

である。

関連項目

• 連分数
• 不定方程式

参考文献

• 鹿野健 『解析数論』 教育出版、東京、1978年。
• 塩川宇賢 『無理数と超越数』 森北出版、東京、1999年。
• Alan, Baker (1975). Transcendental number theory. New York: Cambridge University Press. 
• J.W.S. Cassels (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45. Cambridge University Press. 
• Kleinbock, D; Margulis, G (1998). “Flows on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds”. Ann. Math. 148 (1): 339–360. doi:10.2307/120997. JSTOR 120997. MR1652916. 
• Lang, S (1995). Introduction to Diophantine Approximations (New Expanded ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94456-7. 
• Grigory Margulis, Diophantine approximation, lattices and flows on homogeneous spaces. A panorama of number theory or the view from Baker's garden (Zürich, 1999), 280–310, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002 MR:1975458 ISBN 0-521-80799-9.
• Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
• Wolfgang M. Schmidt.Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000
• Sprindzhuk, V (1979). Metric theory of Diophantine approximations. John Wiley & Sons, New York. ISBN 0-470-26706-2. MR0548467. 

外部リンク

• Diophantine Approximation: historical survey. From Introduction to Diophantine methods course by Michel Waldschmidt.