白銀比

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白銀比(はくぎんひ、silver ratio / silver mean)とは数学定数であり、無理のひとつである。

二次方程式x2 -2x -1= 0の正の

1+ \sqrt 2 = 2.414\dots \approx 12 / 5

白銀数 (silver number)と呼び、しばしばギリシア文字τ(タウ)で表される[1]。このとき1:(τ-1)の比を白銀比という。すなわち、

1 : \sqrt{2} = 1 : 1.414\dots \approx 7 / 5

ふたつの量 a, bab より小さいとする)の比が白銀数であるということは、b - 2aa との比が ab との比と等しいということを示している。

数学的性質[編集]

白銀数の連分数展開は

1 + \sqrt 2 = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}}}

である。

白銀数 rsは有理数に2 の平方根を添加した代数体における代数的整数になっており、 rsの共役数は

r_{\rm s}^\sigma = 1 - \sqrt 2 = - \frac{1}{1 + \sqrt 2} = -\frac{1}{r_{\rm s}}

によって与えられる。任意の自然数 n について、 (rs)n + (rsσ)n は有理整数になるが、rsσの絶対値が1/2より小さいため、この有理整数は (rs)nにもっとも近い自然数を与えている。nが大きくなっていくとき (rsσ)n は 0 に収束するから、R/Zにおける (rs)n の像は原点(の像)を唯一の集積点として持ち、特に (rs)nの小数部分は均等に分布していないことがわかる。

白銀長方形と工業規格[編集]

一辺と他辺が1:\sqrt{2}となる長方形を白銀長方形と呼ぶ[1]

ISO 216規格で定められる紙の寸法は短辺と長辺との比が2の平方根になっているが、このような紙を向かい合う長辺の中点を結ぶ線分により2分割すると、元の紙と相似である長方形となり、その短辺と長辺の比は2の平方根である。例としてA4規格の紙を2分割して得られる長方形がA5規格である。

脚注[編集]

  1. ^ a b 岩本誠一・江口将生・吉良知文 黄金・白銀・青銅 : 数と比と形と率と

関連項目[編集]

外部リンク[編集]