八元数

八元数（はちげんすう、octonion; オクトニオン）の全体 O は、四元数にケーリー＝ディクソンの構成法を用いることによって得られる結合法則を満たさない拡大で、実 8 次元のノルム付き分配的可除代数である。1843年にジョン・グレイヴズ (John T. Graves) によって発見されたが、彼とは独立に発見したアーサー・ケーリーが先に論文として出版した（1845年）ことにちなんで、ケーリー数、ケーリー代数と呼ばれることもある。変種に分解型八元数がある。

基本事項

八元数は 8 つの単位をもつ数、8 次元の数という意味であり、1 つの実数単位 1 と 7 つの虚数単位をもつ。つまり、各々の八元数は 8 つの単位 1 = e₀, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇ の実数係数線型結合

$c_0 + c_1 e_1 + c_2 e_2 + c_3 e_3 + c_4 e_4 + c_5 e_5 + c_6 e_6 + c_7 e_7 = \sum_{\mu=0}^7 c_{\mu} e_{\mu} \quad (c_{\mu} \in \mathbb{R})$

としてあらわされる R 上 8 次元の数である（ここで c₀ の項は本来ならば c₀e₀ とするべきだが、実数単位 e₀ = 1 は乗法単位元となるため、しばしば省略される）。八元数の全体 O における加法と実数倍は

$\begin{align} &a_0 + a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 + a_4 e_4 + a_5 e_5 + a_6 e_6 + a_7 e_7\\ &\qquad + b_0 + b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3 + b_4 e_4 + b_5 e_5 + b_6 e_6 + b_7 e_7\\ &:= \sum_{\mu=0}^7 (a_{\mu} + b_{\mu})e_{\mu} \end{align}$

および、

$\begin{align} & \lambda\cdot(c_0 + c_1 e_1 + c_2 e_2 + c_3 e_3 + c_4 e_4 + c_5 e_5 + c_6 e_6 + c_7 e_7)\\ & \quad := (\lambda c_0) + (\lambda c_1) e_1 + (\lambda c_2) e_2 + (\lambda c_3) e_3 + (\lambda c_4) e_4 + (\lambda c_5) e_5 + (\lambda c_6) e_6 + (\lambda c_7) e_7 \end{align}$

によって定められ、O は 8 次元実ベクトル空間になる。ベクトル空間の座標と考えれば、八元数を 8 つの実数の組と考えることもできる。

単位の乗積表

×	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
1	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e1	e1	−1	e4	e7	−e2	e6	−e5	−e3
e2	e2	−e4	−1	e5	e1	−e3	e7	−e6
e3	e3	−e7	−e5	−1	e6	e2	−e4	e1
e4	e4	e2	−e1	−e6	−1	e7	e3	−e5
e5	e5	−e6	e3	−e2	−e7	−1	e1	e4
e6	e6	e5	−e7	e4	−e3	−e1	−1	e2
e7	e7	e3	e6	−e1	e5	−e4	−e2	−1

1の行と列を無視して右下がりに見ると、添字が順番に並ぶことに注意。

i := e₁, j := e₂, k := e₄, l = e₃ とおくと、

• 1, i で複素数、
• 1, i, j, k で四元数

の場合の単位の乗積表が見出される。

×	1	i	j	k	l	il	jl	kl
1	1	i	j	k	l	il	jl	kl
i	i	−1	k	−j	il	−l	−kl	jl
j	j	−k	−1	i	jl	kl	−l	−il
k	k	j	−i	−1	kl	−jl	il	−l
l	l	−il	−jl	−kl	−1	i	j	k
il	il	l	−kl	jl	−i	−1	−k	j
jl	jl	kl	l	−il	−j	k	−1	−i
kl	kl	−jl	il	l	−k	−j	i	−1

この意味で本質的に新しい虚数単位は

• l

のみであるとも言える。上の表とは

• il = e₇, jl = e₅, kl = −e₆

で対応している。
また l = e₇ とおけば、すべての$\mu\in${1,2,4}について le_μ = e_3μ(mod7) となる。

八元数に対する乗法は、まず単位同士の乗法を定め、それを線型に拡張したものとして定められる。つまり、

$\left(\sum_{\mu=0}^7 a_{\mu}e_{\mu}\right)\cdot\left(\sum_{\nu=0}^7 b_{\nu}e_{\nu}\right)  := \sum_{\mu,\nu}(a_{\mu}b_{\nu})e_{\mu}e_{\nu}$

に対して、単位同士の積 e_μe_ν を乗積表に従って単独の単位に置き換えたものが一般の積である。

複素数にケーリー＝ディクソン構成を 2 回使って八元数を構成することができる ので、八元数における 7 つの虚数単位は 3 つの独立な虚数単位 i, j, l によって、i, j, ij, l, il, jl, (ij)l として得られる。つまり、i は複素数の虚数単位、j は i, k = ij とともに四元数の虚数単位と考えることができて、四元数の虚数単位と、新しい虚数単位 l と、四元数の虚数単位に右から l を掛けたものとで八元数の虚数単位ができ上がっていると考えるのである。

この加法・実数倍（スカラー乗法）・乗法に関して八元数の全体 O は実 8 次元の分配多元環となる。積が結合的でないことはたとえば (e₁e₂)e₃ = e₄e₃ = −e₆ = −(e₁e₅) = −e₁(e₂e₃) となることからわかる。

八元数

x = x₀ + x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃ + x₄e₄ + x₅e₅ + x₆e₆ + x₇e₇

に対して、その八元数としての共軛は

x ^* = x₀ − x₁e₁ − x₂e₂ − x₃e₃ − x₄e₄ − x₅e₅ − x₆e₆ − x₇e₇

で定められる。八元数の共軛をとる操作は O における主対合とよばれる対合変換を与える。またこのとき、

$||x|| = \sqrt{xx^*} = \sqrt{x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2}$

は実数値であり、これを八元数 x のノルムと呼ぶ。これは O を R⁸ と見なしたときのユークリッドノルムであり、このノルムを考えた O は 8 次元ユークリッド空間 E⁸ の構造をもつ。||x^*|| = ||x|| で、ノルムが実数値であることから、0 でないノルムを持つ八元数 x に対して、

$x^{-1} = ||x||^{-2}\cdot x^*$

とおくと、xx⁻¹ = x⁻¹x = 1 が成立する。ノルムが 0 になる八元数は 0 のみであるから、八元数の全体 O は分配多元環として可除（非結合的斜体）である。

一般化

実数を任意の体 k に置き換えて、k 上の八元数代数を考えることができる。 一般の体上の八元数環の微分環は G₂ 型の単純リー環。

参考文献

• J.H.コンウェイ／D.A.スミス『四元数と八元数　幾何，算術，そして対称性』山田修司訳、培風館、2006年11月。ISBN 4-563-00369-7

関連項目

• 複素数
• 四元数
• 十六元数

外部リンク

• Weisstein, Eric W., "Octonion" - MathWorld.（英語）