無理数

無理数（むりすう、irrational number）とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数（比 = ratio）として表すことのできない実数を指す。実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。

無理数という語は、「何かが無理である数」という意味に誤解されやすいため、語義的に「無比数」と訳すべきだったという意見もある。

$\scriptstyle\sqrt{2}$ は無理数である。

無理数の例・判定法

2の平方根は無理数である。一般に m が 1 より大きい整数ならば、整数 N の m 乗根はそれが整数でなければ無理数である。また、log_m n の形の数が有理数であるならば、m = N^a, n = N^b を満たす整数 N, a, b が存在する。したがってlog₂ 3, log₂ 5 のような数は無理数である。

自然対数の底 e や円周率 π, また ゲルフォントの定数 e^π や ζ(3) のような数も無理数であることが知られている。詳しくは後述する歴史の項を参照。

繰り返しのない無限小数であらわされる数は常に無理数である。よって、正の整数を小さいほうから順番に並べた小数であるチャンパーノウン定数

0.123456789101112…

素数を小さいほうから順に並べた小数であるコープランド-エルデシュ定数

0.2357111317192329…

（共に基数が 10 のとき）なども無理数である。

任意の ε > 0 に対して不等式

$0<\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{\epsilon}{q}$

が有理数解 p / q をもつとき、α は無理数である。多くの無理数性の証明はこれを用いている。これは α が無理数であるための必要条件でもある。

性質

無理数を十進小数で表記すると、繰り返しのない無限小数になる。これは位取りの基数によらず一般の N 進小数にも当てはまる。

α を無理数とすると、

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2}$

を満たす無限に多くの有理数 p / q が存在する（ディリクレの定理）。なお、このように無理数の有理数による近似を扱う理論はディオファントス近似と呼ばれる数論の分野に属する。

無理数全体の空間を完備とするような距離が存在する。またA-演算が自然に応用できる例でもあり、此の空間は点集合論的トポロジーでは重要な対象である。

代数的無理数と超越数

無理数のうち、代数的数であるものを代数的無理数、そうでないものを超越数という。

α が代数的数、κ > 2 ならば、

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{\kappa}}$

を満たす有理数 p / q は有限個しかない（トゥエ－ジーゲル－ロスの定理）。このことは不定方程式の解の有限性を示すときに使われる。

2の平方根は代数的無理数であり、log₂ 3, e, π, e^π といった数は超越数である。ζ(3) が超越数であるか否かは未だに解決されていない。詳しくは超越数の項を参照。

無理数度

数α に対して

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{\kappa}}$

を満たす有理数 p / q は有限個しかない、という性質を満たすκ の下限をα の無理数度(irrationality measure)という。

有理数の無理数度は1, ディリクレの定理およびロスの定理より代数的無理数の無理数度は2, リウヴィル数の無理数度は∞ である。ディリクレの定理より無理数の無理数度はすべて2以上である。eの無理数度は2であることが知られている。

ルベーグ測度に関してほとんど全ての数の無理数度は2である。

歴史

無理数の発見は古代ギリシャにまでさかのぼる。ピュタゴラス教団は2の平方根が無理数であることを知っていたとされる。プラトンは彼の著書『テアイテトス』の中で平方数でない数の平方根が有理数でないことを論じ、さらに同じ論法が立方根にも適用できると述べている。これらの数学的な蓄積を受けて、エウクレイデスは『原論』の中で統一した形で実数論を展開している。

しかし当時の数学者は数を長さとして現われるものに限って議論していたため、今日から見れば自ずから制約を課せられていたと見なせる。円周率 π の無理数はすでにアリストテレスによって予想されていたが、実際に証明されたのはそれよりはるかに後の時代のことである（ヨハン・ハインリヒ・ランベルト）。

1872年にリヒャルト・デデキントは『連続性と無理数』を出版し、デデキント切断を用いて無理数を定義した。

ζ(3) はアペリーによって1979年に無理数であることが証明された。π+e^πはネステレンコによって無理数であることが証明された。

未解決の問題

オイラー定数 γ, π + e, eπ, その他 P(e, π)（P(X, Y) は X, Y 双方について次数が 1 以上である多項式）は有理数であるか無理数であるか知られていない。e^e, π^e, π^π といった数も同様である。

関連項目

• 有理数
• 平方根
• 超越数
• 円周率の無理性の証明
• ネイピア数の無理性の証明
• アペリーの定理

参考文献

• 塩川宇賢『無理数と超越数』森北出版、1999年 ISBN 978-4627060913
• デーデキント『数について 連続性と数の本質』河野伊三郎訳、岩波書店、1961年 ISBN 4-00-339241-8
• W. M. Schmidt, "Diophantine Approximations", Lecture Notes in Math. 785, Springer-Verlag, 1980.
• W. M. Schmidt, "Diophantine approximations and diophantine equations", Lecture Notes in Math. 1467. Springer-Verlag, 1991.
• R. Apéry, "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)", Astérisque 61(1979), 11-13.
• A. van der Poorten, "A Proof that Euler Missed... Apéry's Proof of the Irrationality of ζ(3)", Math. Intel. 1 (1979), 196-203.

外部リンク

• Weisstein, Eric W., "Irrational Number" - MathWorld.（英語）