立方根

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立方根(りっぽうこん、cubic rootroot of third power)とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根(さんじょうこん)ともいう。

定義[編集]

積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x3 を満たす xE が存在するとき、xE における a立方根であるという。また、立方根を求めることを開立(かいりゅう)という。

a実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを \sqrt[3]{a} と表す。

性質[編集]

  • 正の数 a に対して、
    \sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}.
  • 1 の虚立方根の一つを ω とすると、もう一つの虚立方根は ω2 であり、ω, ω2 はともに 1 の原始冪根である。また、1 + ω + ω2 = 0 が成り立つ。
  • α が 0 でない複素数ならば、α の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点 0 を中心とする半径 \sqrt[3]{|\alpha|} の円に内接する正三角形の頂点になる。

関連項目[編集]