トゥエ・ジーゲル・ロスの定理

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トゥエ・ジーゲル・ロスの定理 (Thue–Siegel–Roth theorem ) は、代数的数に対するディオファントス近似の基礎に関する定理である。ロスの定理 (Roth's theorem ) としても知られる。定量的な定理であり、与えられた代数的数 α が多すぎる有理数近似を持たないかもしれないという、「非常に良い」結果を述べる。半世紀以上の間に、この「非常に良い」の意味は多くの数学者によって改良にされていった。はじめは1844年にジョゼフ・リウヴィルによって、そして Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947), Klaus Roth (1955) らの仕事が続いた。

ステートメント[編集]

トゥエ・ジーゲル・ロスの定理は以下の事を言う:任意の無理数である代数的数 α は、2 に等しい無理数度を持つ。すなわち、与えられた ε > 0 に対し、不等式

\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \varepsilon}}

が有限個の互いに素な整数 p, q に対してのみ成立する。このことはジーゲルにより予想されていた。言い換えると、任意の無理数 α は、

\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| > \frac{C(\alpha,\varepsilon)}{q^{2 + \varepsilon}}

を満たす。C(α, ε)ε > 0α にのみ依存する正の数である。

議論[編集]

この種の議論における最初の結果は、代数的数の近似に関するリウヴィルの定理で、次数 d ≥ 2 の代数的数 α に対するディオファントス近似の指数を d と与える。超越数の存在を示すにはこの近似で充分であった(リウヴィル数参照)。 トゥエは d より小さな指数をディオファントス方程式の解に対して適用でき得ることを見出し、1909年にトゥエの定理 (Thue's theorem) から、指数は d/2 + 1 + ε であることを示した。 その後、トゥエの方法を改良したジーゲルの定理 (Siegel's theorem) によって 2\sqrt{d}、1947年のダイソンの定理 (Dyson's theorem) によって \sqrt{2d} と指数の値が示された。

指数が 2 となるロスの定理は、ε = 0 とすると定理が成立しないという意味で最良である。ディリクレのディオファントス近似定理により、任意の無理数に対し無限個の解が存在するからである。しかし、サージ・ラングによるより強い予想:

\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2 \log(q)^{1+\epsilon}}

は整数解 p, q を有限個しか持たないという予想がある。α が代数的な数に限らず実数全体で動くとすると、ロスの定理とラングの予想の双方は、ほとんど全ての α に対して成立する。ロスの定理もラングの予想も(有限個しか解が存在しないということは)、ある可算集合測度 0 のある集合を見逃しているということを主張する。[1]

ロスの定理は、有効な結果(計算可能)ではない。すなわち、与えられた α に対する計算可能な p, q への制約が示されていないということである[2]Davenport & Roth (1955) は、ロスの方法が、「ギャップ」原理を用いて[2]、不等式を満たす p/q の数に対する有効な(計算可能な)制限を与えることに利用できる可能性のあることを示した。 C(ε) を実際の値を示せないという事実は、方程式を解いたり解の大きさの制限を定めたりすることは困難であることを意味する。

証明の方法[編集]

証明の方法は、多変数の補助函数英語版 (auxiliary function) を構成することで、多すぎる良い近似の存在の矛盾を導くという方法だった。この種の手法の性質から、ロスの定理は数論において有効ではない(計算可能ではない)。この種の定理は主としてディオファントス方程式の解の個数を制限することに利用されるため、ロスの定理が有効な結果ではない(計算可能でない)ということは、特に重要である。

一般化[編集]

高次元のバージョンもあり、基本的結果としてはシュミットの部分空間定理英語版 (Schmidt's subspace theorem) [注 1] がある。また数多くの拡張があり、例えば、ロスの方法を基礎としたp-進計量英語版 (p -adic metric) に使われる[3]

ウィリアム・ラべック英語版 (William J. LeVeque) は、近似が固定された代数体の中の近似数である場合に、同様な制限が成り立つことを示すことで、ロスの定理を一般化した。代数的数の ξ高さ函数 (height function ) H(ξ) を、最小多項式の係数の絶対値が最大となるように定義する。κ > 2 を固定すると、与えられた代数的数 α と代数体 K に対し、方程式

 | \alpha - \xi | < \frac{1}{H(\xi)^\kappa}

は、K の元 ξ の中には有限個しか解を持たない[4]

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ ロスの結果は、マーニン・マンフォードの予想へも密接に関係している。
  2. ^ a b Hindry & Silverman 2000, pp. 344-345.
  3. ^ Ridout 1958, pp. 40-48.
  4. ^ LeVeque 1956, pp. II:148–152.
  1. ^ ロスの定理の多変数版にあたるシュミットの部分空間定理:部分空間定理とは n2 以上の整数とし、L1(x), ..., Ln(x)x := (x1, ..., xn) を変数とする代数的数係数の一次形式で、係数を並べて得られる正方行列行列式0 にはならないような部分空間を言う。 任意の ε > 0 に対し不等式 |L1(x)···Ln(x)| < |x|1−ε を満たす 0 ≠ xZn は、有理数係数で定義される Qn の真部分空間の有限個の和集合に含まれる。 ただし |x| = (x12 + ··· + xn2)1/2 とする。ロスの定理はこの部分空間定理の n = 2 の場合に相当する。

参考文献[編集]

関連書籍[編集]