オイラーの公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

数学、特に複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、Euler's formula、オイラーの恒等式とも）とは、指数関数と三角関数の間に成り立つ等式

$e^{i\theta} = \cos\theta + i \, \sin\theta$

オイラーの公式の幾何的な表示

をいう。ここに、θ は幾何学的には弧度法に従う角と見なされる実変数である。三角関数を複素変数に関する解析的関数と考えることで、この等式は θ を複素変数と見ても成立している。レオンハルト・オイラーに帰せられるためこの名がある。この公式ははじめ、ロジャー・コーツによって1714年に提出されたが、その証明は曖昧なものだった。その後オイラーによって1748年に再発見され、有名になった。

この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などであらわれる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「宝石」かつ「数学においてもっとも特筆すべき公式」^[1]だと述べている。

また、θ = π のとき、オイラーの等式と呼ばれる

e i π + 1 = 0

が導かれる。この式は、全く起源の異なる重要な定数である円周率 π と自然対数の底 e が、極めて基本的な数、0（加法の単位元）, 1（乗法の単位元）および虚数単位 i によって結びついているという意味で特異なものである。

e i π = - 1

の形でのべられる場合もある。

[編集] 指数関数と三角関数

実関数として定義される指数関数 e^x および三角関数 cos x, sin x をそれぞれマクローリン展開すれば、

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0}\frac{1}{n!}x^{n},$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0}(-1)^n\frac{1}{(2n)!}x^{2n},$

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

なる冪級数としての表示を得る。これらの式の右辺に現れる級数は x がガウス平面上を動く複素変数とみた場合にも任意の x の近傍で広義一様に絶対収束する。これら級数の収束性と正則関数に関する一致の定理により、正則関数としての拡張は全平面でこの収束冪級数によって確定されるため、複素関数としての指数関数・三角関数は通常、この級数展開式を以って定義される。ここで e^x に ix を代入すれば、絶対収束性によって和の順序交換が正当化され

$e^{ix} = \sum^{\infin}_{n=0}i^n\frac{1}{n!}x^{n} = \sum^{\infin}_{n=0}(-1)^n\frac{1}{(2n)!}x^{2n} + i\sum^{\infin}_{n=0}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

なる式が意味を持つ。右辺の初項は cos x のマクローリン展開に、次項は sin x のマクローリン展開に i を乗じたものに他ならず、したがって等式 e^ix = cos x + i sin x が得られるのである。この公式は、全く起源の異なる指数関数と三角関数が複素数の世界では密接に結びついていることを示していると見ることができる。たとえば三角関数の加法定理は、指数法則 e^ae^b = e^a+b に対応していることが分かる。さらに