オイラーの等式

	数学記事シリーズ; 数学定数 e
	自然対数 · 指数関数
	応用: 複利オイラーの等式 · オイラーの公式 · 半減期 · 指数増加/減衰
	e の定義: e の無理性 · e の表現 · リンデマン=ワイエルシュトラスの定理
	人物ネイピア · オイラー;
	シャヌエルの予想 (en);

この項目では、オイラーの公式の特別な場合について記述しています。オイラーの名が冠されたその他の式については「オイラーの式」をご覧ください。

指数関数 e^z は (1 + z/N)^N の N が無限に大きくなるときの極限として定義され、e^iπ は (1 + iπ/N)^N の極限である。このアニメーションでは、N の値を 1 から 100 まで増加させている。複素数平面において 1 + iπ/N の累乗を点で表示しており、折れ線の端点が (1 + iπ/N)^N である。これにより、N の増加に伴って (1 + iπ/N)^N が－1 に近付く様子が観察される。

オイラーの等式（オイラーのとうしき、英: Euler's identity）とは、解析学における等式

$e^{i \pi} + 1 = 0\,$

であり、その名はレオンハルト・オイラーにちなむ。ここに、

$e\,$ : ネイピア数、すなわち自然対数の底

$i\,$ : 虚数単位、すなわち2乗すると－1 となる複素数

$\pi\,$ : 円周率、すなわち円の直径と円周の比

である。

等式の要素 [編集]

オイラーの等式は、その数学的な美によって特筆すべきものと多くの人に認識されている。加法、乗法、指数関数という三つの基本的な算術演算が一度に出現する。また、この等式は次の5つの基本的な数学定数を含む。

1: 乗法に関する単位元。
0: 零元、すなわち加法に関する単位元。
$\pi\,$ : 三角比、ユークリッド幾何学、微分積分学で頻出。およそ 3.14159 である。
e: 自然対数の底であり、微分積分学で広く出現。およそ 2.71828 である。
$i\,$ : 複素数における虚数単位であり、積分などの多くの演算においてより深い洞察に導く。

幾何学、解析学、代数学の分野でそれぞれ独立に定義された定数が簡潔な形でひとつの式に現れるのは非常に興味深いことである。

人々による評価 [編集]

The Mathematical Intelligencer 誌^[1]の読者調査によると、この等式は「数学における最も美しい定理」 (The most beautiful theorem in mathematics) と呼ばれている^[2]。2004年に実施された Physics World 誌での読者調査ではマクスウェルの方程式と並び、オイラーの等式を「史上最も偉大な等式」(Greatest equation ever) と呼んだ^[3]。

ポール・ネイヒン（ニューハンプシャー大学 (en) 名誉教授）の著書「オイラー博士の偉大な式」(Dr. Euler's Fabulous Formula) [2006] では、この等式のために400ページも充てている。本著書ではこの等式が「数学的な美の絶対的基準」(The gold standard for mathematical beauty) を作ったとしている^[4]。

コンスタンス・レイド (en) は、オイラーの等式を「全ての数学分野において最も有名な式」(The most famous formula in all mathematics) であると主張した^[5]。

カール・フリードリッヒ・ガウスは「この式を見せられた学生がすぐに理解できなければ、その学生は第一級の数学者には決してなれない」(If this formula was not immediately apparent to a student on being told it, the student would never be a first-class mathematician.) と指摘している^[6]。

この等式がベンジャミン・パース (19世紀の数学者、ハーバード大学教授) の講義で紹介されたあと、「これはまったく逆説的だ。我々はそれを理解できないし、それがどんな意義を持っているかも知らない。だが我々はそれを証明したし、ゆえにそれが真実に違いないと知っている」(It is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don't know what it means, but we have proved it, and therefore we know it must be the truth.) と付け加えた^[7]。

スタンフォード大学の数学の教授、キース・デブリン (en) は「愛の本質そのものをとらえるシェークスピアのソネットのように、あるいは、単なる表面でなくはるかに深い内面から人間の形の美しさを引き出す絵画のように、オイラーの等式は存在の深奥にまで深く到達している」(Like a Shakespearean sonnet that captures the very essence of love, or a painting that brings out the beauty of the human form that is far more than just skin deep, Euler's equation reaches down into the very depths of existence.) と記している^[8]。

導出 [編集]

一般の角度に対するオイラーの公式

この等式は複素関数論における、任意の実数 x に対するオイラーの公式

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,$

の特別な場合である。ここで三角関数 sin と cos の引数 x は弧度法（ラジアン）である。両辺に x = π を代入すると、

$\cos \pi = -1\,$

$\sin \pi = 0\,$

より

$e^{i \pi} = -1\,$

ゆえに

$e^{i \pi} +1 = 0\,$

を得る。

一般化 [編集]

オイラーの等式は、1の冪根に関する次の等式の特別な場合と見なせる。

$\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0$

この一般的な式は、2 以上の任意の整数 n に対して成り立ち、1 の n 乗根全ての和は 0 であることを意味している。n = 2 とするとオイラーの等式を得る。

特記事項 [編集]

本項の主題は「オイラーの等式」と呼ばれるが、これがオイラーに帰属するべきものであるかは明らかでない。オイラーは e を cos と sin と関連付ける式を記したが、より簡潔な「オイラーの等式」の導出過程を示す記録は残っていない。さらには、オイラー以前にもこの等式が知られていたらしい^[9]。もしそうであれば、これはスティグラーの名前由来の法則 (en) の一例であろう。