ディリクレのディオファントス近似定理

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ディリクレのディオファントス近似定理(-きんじていり)はディリクレが証明した実数有理数による近似についての定理で、単にディリクレの定理と呼ばれることもある。

ディリクレのディオファントス近似定理は次のような定理である。

任意の実数 \alpha1 より大きい任意の自然数 N に対し、分母N 以下の自然数 q であるような \alpha の近似分数 \frac{p}{q} で、\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{qN} を満たすものが存在する。

この定理の証明は鳩の巣原理による。

場合によっては、この定理から直ちに導かれる次の結果を指すこともある。

任意の無理数 \beta に対し、0 < \left|\beta - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2} を満たす無限に多くの有理数 \frac{p}{q} が存在する。

この系は、ツゥエ・ジーゲル・ロスの定理が、代数的数の有理数での近似の下界は 2 を超えて 2 + ε への改善はできないという意味で、最良であることを示している。

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参考文献[編集]