正方形

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正方形

正方形(せいほうけい、英: square)または、正四角形とは、平面上の幾何学において、4つの長さが全て等しく、4つの角の角度が全て等しい四角形のことであり、正多角形の1種である。正方形は、長方形菱形凧形平行四辺形台形の特殊な形だと考えることもできる。なお1面積は、一辺1mの正方形の面積と定義される。1cm²、1km²なども同様である。

他の図形との関係[編集]

正方形と長方形
正方形は、全て角の角度が等しい四角形である。したがって正方形は、長方形(4つの角の角度が全て等しい四角形)の特殊な形だと言える。
正方形と菱形
正方形には2本の対角線が存在するが、その長さは等しく、またこの2本の対角線は直交する。逆に、対角線の長さが等しい菱形(4つの辺の長さが全て等しい四角形)は、正方形となる。したがって正方形は、菱形の特殊な形だと言える。
正方形と凧型
正方形の4つの辺の長さは全て等しい。よって対頂点(辺を共有しない、向かい合う2つの頂点)に接する辺の長さも等しい。したがって正方形は、凧型(1組の対頂点に接する辺の長さが等しい四角形)の特殊な形だと言える。
正方形と平行四辺形・台形
正方形の向かい合う辺は、必ず平行である。したがって正方形は、平行四辺形(向かい合う辺が平行な四角形)の特殊な形だと言える。同様に、台形(1組の向かい合う辺が平行な四角形)の特殊な形だとも言える。

性質[編集]

正方形は、上記のように長方形菱形凧形平行四辺形台形の特殊な形なので、これらの図形が持つ性質は全て持っている。また、それとは別に四角形の中では正方形だけが持つ性質もある。以下に正方形の性質の具体例を幾つか列記する。

  • 正方形の1辺の長さを2乗すれば、その正方形の面積が算出できる。
  • 正方形の対角線の長さにその半分の長さをかけると、その正方形の面積が算出できる。すなわち正方形の面積は、その対角線を長さ(長方形の長い方の辺の長さ)その半分を幅(長方形の短い方の辺の長さ)とする長方形の面積と等しい。
  • 正方形Aの内接円と、正方形Bの外接円、それぞれの半径が等しい時、正方形Aの面積は、正方形Bの面積の2倍となる。
  • 正方形は、全て角の角度が等しい四角形であるため、必ず正方形の内角はどれも直角となる。よって、正方形の向かい合う辺は、必ず平行となる。
  • 全ての正方形は、互いに相似である。(相似でない正方形は存在しない。)さらに、辺の長さの等しい正方形同士ならば、それらは合同である。また、対角線の長さの等しい正方形同士も、それらは合同である。
  • 正方形には2本の対角線が存在するが、その長さは等しく、またこの2本の対角線は直交する。なお、この2本の対角線の交点は、正方形の重心となっている。
  • 正方形は、対角線の交点(重心)を中心点とした点対称な図形である。ところで点対称とは、中心点を軸に180度回転した像と元の像が重なり合う状態を言う。したがって、正方形の重心を中心として180度回転させると元の像と重なり合うのは当然だが、正方形の場合は、さらに重心を中心として90度回転させた場合も元の像と重なり合う。
  • 正方形は、対角線、または、向かい合う辺の中点同士を結ぶ線分に対して、線対称な図形である。したがって、これらの線で折り返した場合、重なり合う。なお、これらの線は必ず正方形の重心を通る。また、これらの線は合わせて4本あるので、対称軸が4本あると言うことができる。ちなみに、四角形が持ち得る対称軸は、最大で4本である。なお一般に、正n角形にはn本の対称軸が存在するわけだが、正方形(=正4角形)の場合もそれは当てはまっている。
  • 正方形の重心を原点に取り、に平行に取った辺の長さが2である正方形の頂点座標は (x, y) = (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1) となる。この正方形の内部は -1 < x < 1, -1 < y < 1 として、 (x, y) で示される集合として表される。もしくは |x|n + |y|n < 1 の n→∞ の場合の極限である。ただし、この式では辺と頂点は含まない。
  • 正方形は正多角形の1種である。正多角形のうち平面を隙間無く敷き詰めることのできる図形は、正三角形、正方形、正六角形の3種のみである。(なお、平面を隙間無く敷き詰めることのできる正多角形以外の図形は、例えば平行四辺形など、他にも存在する。)また正多角形のうち正多面体の面になり得るものは、正三角形、正方形、正五角形、の3種のみである。全ての面が正方形である正多面体は正六面体であり、一般に立方体と呼ばれる。

正方形に関するその他の事項[編集]

  • 地図投影法の1種である正距円筒図法は、正方形図法という別名を持つ。これは、正距円筒図法で書かれた地図の経線緯線が等間隔に直交し、ちょうど正方形のマスができるためである。
  • 一般的な折り紙は、正方形のである。
  • 正六面体立方体)のは、正方形である。
  • の1種である平方数は、正方形数とも呼ばれる。
  • 「任意の正方形を、2個以上の全て異なる大きさの正方形に分割できるか」という問題は、ルジンの問題として知られる。元々は解が無いだろうと予想されていたが、後に幾つかの解が発見された。

関連項目[編集]