三百六十角形

三百六十角形（さんびゃくろくじゅうかくけい、さんびゃくろくじゅうかっけい、triacosiahexecontagon）は、多角形の一つで、360本の辺と360個の頂点を持つ図形である。内角の和は64440°、対角線の本数は64260本である。

正三百六十角形[編集]

正三百六十角形においては、中心角と外角は1°で、内角は179°となる。一辺の長さが a の正三百六十角形の面積 S は

S={\frac {360}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{360}}\simeq 10312.97851a^{2}

$\sin {1^{\circ }}$ を平方根と立方根で表すと、

\sin {1^{\circ }}={\frac {1+{\sqrt {3}}i}{16}}{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {30}}-8{\sqrt {15+3{\sqrt {5}}}}+8{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+4{\sqrt {10}}-4{\sqrt {6}}-4{\sqrt {2}}+\left(4{\sqrt {30}}+8{\sqrt {15+3{\sqrt {5}}}}+8{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-4{\sqrt {10}}-4{\sqrt {6}}+4{\sqrt {2}}\right)i}}+

$\cos(2\pi /360)$ を平方根と立方根で表すと、

{\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{360}}=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{120}}+i\sin {\frac {2\pi }{120}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{120}}-i\sin {\frac {2\pi }{120}}}}\\8\cos {\frac {2\pi }{360}}=&{\sqrt[{3}]{64\cos {\frac {2\pi }{120}}+i\cdot 64\sin {\frac {2\pi }{120}}}}+{\sqrt[{3}]{64\cos {\frac {2\pi }{120}}-i\cdot 64\sin {\frac {2\pi }{120}}}}\\\cos {\frac {2\pi }{360}}=&{\tfrac {{\sqrt[{3}]{4\left(2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)\right)+4\left(2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}+1\right)\right)i}}+{\sqrt[{3}]{4\left(2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)\right)-4\left(2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}+1\right)\right)i}}}{8}}\\\end{aligned}}

正三百六十角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正三百六十角形は折紙により作図可能である。

ポータル数学