平行四辺形

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平行四辺形

平行四辺形(へいこうしへんけい、英: parallelogram)とは、2組の対辺がいずれも平行である四角形のことである。

特徴[編集]

少なくとも1組の対辺が平行である四角形台形である。従って、平行四辺形は台形の一種であるといえる。

平行四辺形はほかにも次のような性質を持つ。

  • 2組の対辺はそれぞれ等しい。
  • 2組の対角はそれぞれ等しい。
  • 対角線はそれぞれの中点で交わる。

平行四辺形の面積Sは 〔底辺〕×〔高さ〕 で求めることができる。これは平行四辺形を面積を変えずに長方形に変形させることで説明できる[1]

平行四辺形の平行でない2辺をベクトルa, b、2辺のなす角θ とするとき、面積Sはa, b外積で表され

S = |\mathbf a\times\mathbf b| = |\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta

となる。

平行四辺形は2つの合同三角形を大きさの異なる角どうしが頂点を共有するように並べた図形である。

三角形の面積を 〔底辺〕×〔高さ〕÷2 で表すことができるのは、それが平行四辺形の面積を2等分して求めた結果だからである。

平行四辺形は点対称な図形である。その対称の中心は2本の対角線の交点であり、図形の重心と一致する。しかし一般には線対称な図形ではない。

平行四辺形も台形と同様に平面を敷き詰めることができる。

4本の辺が全て等しい平行四辺形は菱形、4つの角が全て等しい平行四辺形は長方形であり、その両方の性質を持つ平行四辺形が正方形である。

平行四辺形ABCDの対角線の交点をEとすると、

AB=CD、 BC=DA、 AE=CE、 BE=DE

であるが、この4種の線分長には次の関係式が成り立つ。(中線定理

AB^2+BC^2=2\left(AE^2+BE^2\right)

平行四辺形になるための条件[編集]

四角形が次のいずれかの条件に当てはまるとき、平行四辺形になる。つまりこれらの条件は全て同値である。

  • 2組の対辺がそれぞれ平行(定義
  • 2組の対辺がそれぞれ等しい
  • 2組の対角がそれぞれ等しい
  • 対角線がそれぞれの中点で交わる
  • 1組の対辺が平行で、その長さが等しい

脚注[編集]

  1. ^ 底辺はどの辺でも構わない。ある辺を底辺と決めたら、それと直角に交わる線分を底辺からその対辺まで引いたとき、その線分の長さが高さである。

関連項目[編集]