双心四角形
双心四角形(そうしんしかっけい、Bicentric Quadrilateral)とは外接円と内接円の両方をもつ四角形のことである。双心多角形の一種。
面積の公式[編集]
4辺が a, b, c, d である双心四角形 ABCD の面積は次の公式で表される。
- S = √abcd
より一般に、内接円を持つ四角形 ABCD の面積は、 とおくと次で与えられる。
- S = √abcd sin t
双心四角形に対する公式は、t = π/2 という特殊な場合である。
証明[編集]
双心四角形ABCD において、外接円を持つことからブラーマグプタの公式が使えて、次の式が成り立つ。
- S = √(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
- ただし
内接円を持つ四角形の対辺の和は等しいので
- a + c = b + d = s
したがって
- s − a = c
- s − c = a
- s − b = d
- s − d = b
ゆえに
- S = √abcd
(証終)
外接円を持つとは限らない一般の場合の公式は、ブレートシュナイダーの公式を用いて同様に示せる。
外接円と内接円の関係[編集]
外接円の半径を R、内接円の半径を r、外接円の中心と内接円の中心の距離を d としたとき、
- 2r2(R2 + d2) = (R2 − d2)2
が成り立つ。
関連項目[編集]
外部リンク[編集]
- Weisstein, Eric W. "Bicentric Quadrilateral". mathworld.wolfram.com (英語).