ブラーマグプタの公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
ブラーマグプタの公式とは、円に内接する四角形の四辺の長さから面積を求める公式である。
目次 |
[編集] 概要
ブラーマグプタの公式は、7世紀にインドの数学者ブラーマグプタがヘロンの公式の一般化として得た定理である。ヘロンの公式は三角形の3辺の長さから三角形の面積を求める公式であるが、ブラーマグプタの公式は四角形の 4辺の長さから四角形の面積を求める公式である。ただし、 3辺の長さが等しい三角形同士は合同になることから、三角形は 3辺の長ささえ分かれば形が確定し面積が決まるが、四角形の場合は辺の長さだけが決まってもその形を決めることはできず面積は決まらない。したがって、ブラーマグプタの公式では円に内接する四角形であるという条件を付けることで四角形の面積を確定することになる。しかしながら、ブラーマグプタ自身は円に内接するという条件を明示していないため、不正確な公式としてしか記録に残っていない。
[編集] 公式
四角形 ABCD があるとする。辺の長さを AB = a, BC = b, CD = c, DA = d とし
とおく。
ある適当な円が存在し、四角形 ABCD がその円に内接している、すなわち頂点の A,B,C,D が円の円周上にあるとするならば、四角形の面積 S は
と等しい。この等式をブラーマグプタの公式という。
三角形を四角形の特別な場合とみて a=0 とし、この定理の条件の円を三角形の外接円と考えればヘロンの公式が得られる。
さらにこの四角形 ABCD が円に外接するとき、いわゆる双心四角形の面積 S は
と表せる。内接円をもつ四角形の性質とブラーマグプタの公式を利用して得られる簡潔な公式である。
さらに一般化として円に内接しない四角形の面積を求める公式も知られている。四角形 ABCD の向かい合う角の和、たとえば ∠ABC + ∠CDA の半分を t とすると
が成り立つ。この公式をブレートシュナイダーの公式 (Bretschneider's formula) と呼ぶ。もし、四角形 ABCD が円に内接しているならば、向かい合う角の和は 180°となるから t = 90°であり cos(t) = 0 となるため、ブラーマグプタの公式が得られる。
[編集] 証明
円 O に内接する四角形の頂点を A, B, C, D とし
- AB = a, BC = b, CD = c, DA = d
とする。∠ABC = t と置くと、内接四角形の関係から ∠CDA=180°− t となる。ここで三角形の面積の公式より
- △ABC = (1/2) ab sint
- △CDA = (1/2) cd sin(180°− t) = (1/2) cd sint
従って
- 四角形ABCDの面積 = △ABC + △CDA
- = (1/2) ab sint + (1/2) cd sint
- = (1/2)(ab + cd) sint … (1)
また、余弦定理によれば
- AC2 = a2 + b2 - 2ab cost
- AC2 = c2 + d2 - 2cd cos(180°− t) = c2 + d2 + 2cd cost
この二式より costを求めると
となるので
- (ab + cd)(1 - cost) = 2(s - a)(s - b)
- (ab + cd)(1 + cost) = 2(s - c)(s - d)
- 辺々掛けて、(ab+cd)2 sin2t = 4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
ゆえに (1) より四角形 ABCD の面積は
となる。 なお一般化されたブレートシュナイダーの公式も、同様に余弦定理を用いて証明可能である。
