余弦定理

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余弦定理(よげんていり、: law of cosines, cosine formula)とは、平面上の三角法において三角形の辺の長さと内角の余弦の間に成り立つ関係を与える定理である。余弦定理を証明するために用いられる補題はときに第一余弦定理と呼ばれ、このとき証明される定理は第二余弦定理と呼ばれ区別されることがある。単に余弦定理と言った場合、第二定理を指す。

三角形の角と辺の関係

概要[編集]

ある角の余角に対する正弦を余弦という。余角とは、対となる角と自身の大きさの和が直角になるような角をいい、たとえば直角三角形の 2 つの鋭角のうち一方は他方の余角となっている。このとき余弦とは注目する角の余角の対辺をいう。鋭角に対する余弦関数はこの余弦の長さを与える。

余弦関数 y = cos x は、π円周率 とすると 0 < x < π において狭義単調減少関数であり、xy の値は 1 対 1 に対応させることができ、それらの関係は x = arccos y と余弦関数の逆関数を用いて表すことができる。三角形の内角の大きさはこの逆余弦関数の値域に収まるため、三角形の内角の大きさを知ることと、その余弦の長さを知ることは同じことである。余弦定理は三角形の内角の余弦と辺の長さの関係を示す等式である。

△ABC において、a = BC, b = CA, c = AB, α = ∠CAB, β = ∠ABC, γ = ∠BCA としたとき

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
b2 = c2 + a2 − 2ca cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

が成り立つ。これらの式が成り立つという命題を余弦定理、あるいは第二余弦定理という。

余弦定理は 2 つの辺の長さと 1 つの内角の大きさが分かっていれば、もう 1 つの辺の長さが決まるという定理である。このことは三角形の合同条件に対応している。逆に 3 つの辺の長さが分かっていれば

\cos \alpha =\frac{b^2 +c^2 -a^2}{2bc}

のように余弦について解くことによって内角の大きさを知ることができる。

また、α = π/2 であれば、cos α = 0 なので、第二余弦定理の特殊な場合として、ピタゴラスの定理

a2 = b2 + c2

などが導かれる。すなわち、第二余弦定理は、全ての三角形に対する一般化されたピタゴラスの定理といえる。

歴史[編集]

ユークリッド原論の第2巻命題12では、△ABCγ が鈍角の鈍角三角形としたとき

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

が成り立つことと、命題13で鋭角三角形の場合が示されている。ユークリッド原論では余弦関数は使われていないが、辺の長さを用いて余弦定理と本質的に同じ命題が示されている。

イスラム世界では 10世紀に活躍した天文学者であり数学者アル・バッターニーは、これらの結果を球面幾何学にまで広げ星の間の距離を測定した。15世紀には、アル・カーシーが精密な三角関数表を作成し、余弦定理を三角測量に使いやすい形にした。このためフランスでは余弦定理のことを アル・カーシーの定理 (Théorème d'Al-Kashi) と呼ぶ。

西洋での余弦定理は16世紀にフランソワ・ビエタによって独自に発見されたことで有名になり、19世紀初頭から現代のような数式で書かれるようになった。

定理[編集]

△ABC において、a = BC, b = CA, c = AB, α = ∠CAB, β = ∠ABC, γ = ∠BCA とすると第一余弦定理

a = b cos γ + c cos β
b = c cos α + a cos γ
c = a cos β + b cos α

と、第二余弦定理

が成り立つ。単に余弦定理というと第二余弦定理を指す。

三角形の内角の和は π ラジアンであるため 2 つの内角の大きさが分かっていれば、もう 1 つの内角の大きさは定まる。すなわち、第一余弦定理は三角形の 3 つの角の大きさと 2 辺の長さが分かっているときに、もう 1 つの辺の長さが決まるという定理である。

第一余弦定理の証明[編集]

鋭角三角形の時、第一余弦定理の一つ c = a cos β + b cos α は図のような関係を表している。

b の対角が直角 β = π/2 であるとき cos β = 0 となり cos β を含む第一余弦定理は

a = b cos γ
c = b cos α

のようになる。辺 b は直角三角形の斜辺であるため、これは余弦関数の定義そのものである。

以下、βγ は直角ではないとする。すなわち cos βcos γ0 ではないとする。

正弦定理によれば

{a\over \sin \alpha} = {b\over \sin \beta} = {c\over \sin \gamma}

であり、加比の理から

{a\over \sin \alpha} = {b\over \sin \beta} = {c\over \sin \gamma} = {b\cos \gamma +c\cos \beta \over \sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \beta}

さらに三角関数の加法定理から

= {b\cos \gamma +c\cos \beta \over \sin(\beta +\gamma)} = {b\cos \gamma +c\cos \beta \over \sin \alpha}

よって、最初の式と最後の式より

a = b \cos \gamma + c\cos \beta

となる。

正弦定理では外接円の半径との関係もあるがその部分を除けば、この証明から逆に第一余弦定理を仮定して正弦定理を示すこともできる。

第二余弦定理の証明[編集]

第一余弦定理の利用[編集]

BC を底辺としたときの △ABC の高さが

b sin γ = c sin β

であることに注意すれば第一余弦定理

a = b cos γ + c cos β

平方

\begin{align}
a^2 &= \left(b \cos \gamma + c \cos \beta\right)^2 \\
&= \left(b \cos \gamma\right)^2 + \left(c \cos \beta\right)^2 + 2bc \cos \beta \cos\gamma \\
&= b^2 + c^2 + 2bc\cos\left(\beta + \gamma\right) - \left(b \sin \gamma - c \sin \beta \right)^2 \\
&= b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha
\end{align}

であり第二余弦定理となる。

a > 0 に注意して逆の変形をすれば、第二余弦定理から第一余弦定理を得る。

ユークリッド原論にみる原型[編集]

ユークリッド原論第1巻命題47においてピタゴラスの定理が示され、第2巻の最初の方では

(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy

などの二次式の関係が図形問題として述べられる。

ユークリッド原論で扱われているのはこのような数式ではなく x2x を一辺の長さとする正方形の面積として、xyxy を辺の長さとする長方形の面積として表され、正方形や長方形を比べることによって命題が述べられる。

それらを背景として第二余弦定理とほぼ同等な命題が現れる。しかし三角関数がなかった時代のものなので、現代のように角度と辺の長さの関係として捉えられていたわけではない。余弦が明示的に使われているわけではなく、特定の辺の長さを現代的に余弦を用いて表現すると一致するという意味である。同じ意味で第一余弦定理

c = a cos β + b cos α

に対応するものも考えてみると、C から AB に下ろした垂線の足を H としたとき、辺 AB の長さは AHHB の長さの和ということを示しているだけの定理なので、三角形の辺の長さの関係を表し、特に第一余弦定理を表しているといえる命題といったものはユークリッド原論の中にはない。敢えて言えば、三角形ではなく線分の内分、外分に関する命題ということになる。

第2巻命題12[編集]

ユークリッド原論第2巻命題12では AB2 = CA2 + BC2 + 2CA×CH が示されている

ユークリッド原論第2巻命題12では、鈍角三角形の鈍角に対応する第二余弦定理がピタゴラスの定理を用いて示されている。現代的に書けば

γ > π/2 のとき B から AC に下ろした垂線の足を H とする。H は線分 AC 上ではなく ACC の方へ延長した半直線上にある。d = CH, h = BH として △ABH△CBH にピタゴラスの定理を適用すると

\begin{align}
& c^2 = \left(b + d\right)^2 + h^2 \\
& d^2 + h^2 = a^2
\end{align}

となり

\begin{align}
c^2 &= b^2 + 2bd + d^2 + h^2 \\
&= a^2 + b^2 + 2bd
\end{align}

となる。

余弦関数を用いた表現では、鈍角に対する余弦が負になることに気を付ければ d = −a cos γ である。

第2巻命題13[編集]

ユークリッド原論第2巻命題13では、鋭角三角形に対する第二余弦定理が示されている。

△ABC において、A から BC に下ろした垂線の足を H とし、p = BH, q = HC, h = AH とする。

第2巻命題7で示されている

a^2 + p^2 = 2ap + q^2

という関係を使うことで

a^2 + \left(p^2 + h^2\right) = 2ap + \left(q^2 + h^2\right)

△ABH△ACH にピタゴラスの定理を使って

a^2 + c^2 = 2ap + b^2

となる。

余弦関数を用いた表現では p = c cos β である。

鋭角と三角関数[編集]

Triangle with trigonometric proof of the law of cosines.svg

△ABC において、γ が鋭角の場合、B から AC に下ろした垂線の足を H とすると、BH = a sin γ, CH = a cos γ, AH = |AC − CH| = |ba cos γ| であり △ABH にピタゴラスの定理を使えば

\begin{align}
c^2 &= \left(b - a \cos \gamma\right)^2 + \left(a \sin \gamma\right)^2 \\
&= b^2 - 2ab \cos \gamma + a^2 \left(\cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma\right) \\
&= a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma
\end{align}

となる。

α が鋭角であるか鈍角であるかによって ACCH の大小関係が入れ替わるが、どちらが大きくても2乗によってこの符号の違いは関係なくなる。

ベクトルによる計算[編集]

ベクトルの長さをベクトルの内積を用いて与えれば、余弦定理の公式は自然に得ることができる。

\begin{align}
c^2 &= \lVert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \lVert^2 \\
&= \lVert \overrightarrow{\mathrm{CB}} -\overrightarrow{\mathrm{CA}} \lVert^2 \\
&= \lVert \overrightarrow{\mathrm{CB}} \lVert^2 
- 2 \overrightarrow {\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} 
+ \lVert \overrightarrow{\mathrm{CA}} \lVert^2 \\
&= \mathrm{CB}^2 
- 2 \left| \mathrm{CB} \right| \cdot \left|\mathrm{CA}\right| \cos \widehat{\mathrm{ACB}} 
+ \mathrm{CA}^2 \\
&= a^2 +b^2 -2ab\cos \gamma.
\end{align}

関連項目[編集]